Задания B5: простейшие уравнения

  ЗАДАНИЯ B5: ПРОСТЕЙШИЕ УРАВНЕНИЯ

Проверяемые элементы содержания и виды деятельности: владение понятием уравнение, область определения уравнения, знание основных типов простейших уравнений, умение решать уравнения.

Ориентировочное время выполнения учащимися, изучающими математику на базо-вом уровне: 5—10 минут.

Типы заданий:

Линейные и квадратные уравнения.

Рациональные уравнения.

Иррациональные уравнения.

Показательные уравнения.

Логарифмические уравнения.

Тригонометрические уравнения.

Линейные уравнения. Уравнение  ax= b, где x — неизвестное, a и b — любые действительные числа, называется линейным уравнением относительно x.

Квадратные уравнения.

Квадратным уравнением называется уравнение вида

,

где

x - переменная,

a, b,c - постоянные (числовые) коэффициенты.

В общем случае решение квадратных уравнений сводится к нахождению дискриминанта:

Формула дискриминанта:

.

О корнях квадратного уравнения можно судить по знаку дискриминанта (D) :

D>0 - уравнение имеет 2 различных вещественных корня

D=0 - уравнение имеет 2 совпадающих вещественных корня

D<0 - уравнение имеет 2 мнимых корня (для непродвинутых пользователей - корней не имеет)

В общем случае корни уравнения равны:

.

Очевидно, в случае с нулевым дискриминантом, оба корня равны

.

Иррациональные уравнения

Иррациональным называется уравнение, в котором неизвестное (переменная) содержится под знаком корня или под знаком операции возведения в рациональную (дробную) степень.

Для решения иррациональных уравнений обычно используются следующие прием:

«уединение» корня в одной из частей уравнения и возведение в соответствующую степень;

Показательные уравнения

Уравнение, которое содержит неизвестное в показателе степени, называется показательным уравнением.

Самое простое показательное уравнение имеет вид

ax = b,

где a > 0, a ≠ 1.

Логарифмические уравнения

Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании, называется логарифмическим уравнением.

Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида

loga x = b.

Утверждение 1. Если a > 0, a ≠ 1, уравнение (1) при любом действительном b имеет единственное решение x = ab.

Тригонометрические уравнения

Тригонометрическое уравнение — уравнение, содержащее неизвестное под знаком тригонометрической функции.

Виды тригонометрических уравнений

Простейшие тригонометрические уравнения.

Уравнение sin x = a

Если | a | > 1, то уравнение sin x = a не имеет корней. Например, уравнение sin x = 2 не имеет корней.
Если | a | ≤ 1, то корни уравнения выражаются формулой x = ( —1)n arcsin a + рn, n ∈ Z.
Частные случаи:
1. sin x = 0 ⇒ x = рn, n ∈ Z.
2. sin x = 1 ⇒ x = р/2 + 2рn, n ∈ Z.
3. sin x = -1 ⇒ x = - р/2 + 2рn, n ∈ Z.

Уравнение cos x = a

Если | a | > 1, то уравнение cos x = a не имеет корней. Например, уравнение cos x = —1,5 не имеет корней.
Если | a | ≤ 1, то корни уравнения выражаются формулой x = ±arccos a + рn, n ∈ Z.
Частные случаи:
1. cos x = 0 ⇒ x = р/2 + рn, n ∈ Z.
2. cos x = 1 ⇒ x = 2рn, n ∈ Z.
3. cos x = -1 ⇒ x = р + 2рn, n ∈ Z.

Уравнение tg x = a

Уравнение tg x = a имеет корни при любом значении a. Корни уравнения выражаются формулой x = arctg a + рn, n ∈ Z.

Уравнение ctg x = a

Уравнение ctg x = a имеет корни при любом значении a. Корни уравнения выражаются формулой x = arcctg a + рn, n ∈ Z.

Дробно рациональное уравнение

Схема решения дробного рационального уравнения

1. Найти общий знаменатель всех дробей, которые входят в уравнение.

2. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель.

3. Решить полученное целое уравнение.

4. Произвести проверку корней, и исключить те из них, которые обращают в нуль общий знаменатель.