ТИПОВОЙ РАСЧЕТ
ЧАСТЬ 1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
Задача 1.1.
14. В коробке находится 15 игрушек: 8 кукол, 5 мишек и 2 машинки.
Наугад взяли 5 игрушек.
Какова вероятность того, что среди выбранных игрушек:
а) одна кукла и одна машинка;
б) нет мишек.
Решение.
15 = 8 + 5 + 2
Т. е., других игрушек в коробке нет.
а) одна кукла и одна машинка;
Вероятность взять одну куклу и одну машинку одним из способов.
Количество таких способов равно числу размещений из 5 по 2.
Вероятность указанного события:
б) нет мишек.
Вероятность того, что первая игрушка – не мишка, вторая – не мишка, и т. д.
Задача 1.2.
14. На комплексную плоскость в круг |Z| ≤ R наудачу брошена точка.
Найдите вероятность того, что |Z+i| ≤ |Z+1|.
Решение
|Z+i| ≤ |Z+1| равносильно
Т. е., половина круга.
Задача 1.3.
Надежность схемы – вероятность ее работы за время t.
p - надежность элемента;
q - вероятность отказа элемента.
Элементы выходят из строя независимо друг от друга.
Варианты 7, 14, 21, 28 (рис.7).
14. q ○= 0,1 q = 0,2 .
Найти надежность схемы.
Решение.
Разобьём схему на 2 участка, и второй участок разобьём на 2 части:
Событие, что первый участок надёжен, является противоположным к событию сбоя на первом участке.
Событие надёжности первой части второго участка и ненадёжности противоположны.
Событие надёжности второй части второго участка и ненадёжности противоположны.
Событие, что второй участок надёжен, является противоположным к событию сбоя на втором участке.
Событие, что схема надёжна, означает надёжность двух участков.
Задача 1.4.
Все вероятности вычислять с точностью не ниже 10-3 (три знака после запятой).
Вариант 14. Студент из 25 билетов выучил всего 5 билетов.
В каком случае вероятность взять «хороший» билет больше – если он берет билет первым, или если он берет билет вторым?
С какой вероятностью из 3-х взятых наугад билетов хотя бы 1 будет хороший?
Решение.
Вероятность взять первым один из 5 выученных билетов вычисляется по определению вероятности.
Вероятность взять вторым один из 5 выученных билетов вычисляется по формуле полной вероятности с учётом 2-х гипотез (первым взяли один из 5, первым не взяли один из 5).
Условная вероятность события «взять вторым выученный билет».
Полная вероятность этого события:
Т. е. вероятности равны.
Событие, что из 3-х взятых наугад билетов хотя бы 1 будет хороший, противоположно событию, что хороших не будет.
Задача 1.5.
14. Имеются три ящика с шарами.
В первом ящике находятся 8 красных и 4 белых шара, во втором ящике - 8 красных и 2 белых, а в третьем – 2 красных и 5 белых шаров.
Наудачу выбирается ящик и из него извлекается шар.
a) Найти вероятность того, что выбрали белый шар.
b) Выбран белый шар. Найти вероятность того, что шар извлечен из первого ящика.
Решение.
Всего в первом ящике 12 шаров, во втором – 10, в третьем – 7.
Первая задача решается по формуле полной вероятности.
Выдвигаем 3 гипотезы (выбор ящика), которые равновероятны.
Условная вероятность события «взять белый шар».
Полная вероятность события:
Вторая задача решается по формуле Байеса.
Апостериорная вероятность первой гипотезы.
Задача 1.6.
По каждому варианту выполняются задачи а), в) и с), одна из которых решается с помощью формулы Бернулли, другая – по формуле Пуассона, а третья по теореме Муавра-Лапласа. Каждая задача включает в себя два подпункта.
Вариант 14.
После изготовления n одинаковых деталей проходят проверку на соответствие качеству. Вероятность брака для каждой детали одинакова (независимо от других) и равна p.
Найти вероятность то, что:
1) проверку успешно пройдут ровно m деталей;
2) будет менее двух бракованных деталей.
Формула Пуассона ни к одной из задач неприменима, т. к. число M слишком велико для вариантов а), b) и несущественно для варианта с), который решается по схеме Бернулли!
Задача 1.6.а.
После изготовления 70 одинаковых деталей проходят проверку на соответствие качеству. Вероятность брака для каждой детали одинакова (независимо от других) и равна 0,3.
Найти вероятность то, что:
1) проверку успешно пройдут ровно 60 деталей;
2) будет менее 2-х бракованных деталей.
Решение.
Число испытаний велико, следовательно, применяются приближённые формулы Муавра-Лапласа.
Для решения первой задачи применяется локальная формула Муавра-Лапласа.
Для решения второй задачи применяем формула Муавра-Лапласа.
Задача 1.6.b.
После изготовления 600 одинаковых деталей проходят проверку на соответствие качеству. Вероятность брака для каждой детали одинакова (независимо от других) и равна 0,005.
Найти вероятность то, что:
1) проверку успешно пройдут ровно 593 детали;
2) будет менее 2-х бракованных деталей.
Решение.
Для решения первой задачи применяется локальная формула Муавра-Лапласа.
Для решения второй задачи применяется формула Муавра-Лапласа.
Задача 1.6.с.
После изготовления 9 одинаковых деталей проходят проверку на соответствие качеству. Вероятность брака для каждой детали одинакова (независимо от других) и равна 0,1.
Найти вероятность то, что:
1) проверку успешно пройдут ровно 6 деталей;
2) будет менее 2-х бракованных деталей.
Решение.
Первая задача решается по схеме Бернулли.
Вторая задача решается по схеме Бернулли.
