Отсечённые треугольники и пирамиды
Рассмотрим две задачи, связанные с треугольниками, отсечёнными от данного треугольника, и пирамидами, отсечёнными от данной пирамиды. В условиях задач просматривается явная аналогия — посмотрим, имеется ли аналогия в их решениях. Итак, задачи.
1. На стороне треугольника отмечена точка, через неё проведены прямые, параллельные двум другим сторонам этого треугольника. Какую наименьшую часть площади данного треугольника составляет сумма площадей отсечённых треугольников?
2. На ребре треугольной пирамиды отмечена точка, через неё проведены плоскости, параллельные двум граням пирамиды, не содержащим это ребро. Какую наименьшую часть объёма данной пирамиды составляет сумма объёмов отсечённых пирамид?
Начнём с решения задачи 1.
I способ. Пусть дан треугольник ABC, площадь которого равна S. Точка D взята на стороне BC этого треугольника, длина которой a, пусть CD = x, тогда BD = a – x. Прямые, параллельные сторонам данного треугольника, отсекают от него два треугольника, подобные данному. Пусть площади треугольников со сторонами CD и BD равны 
и 
соответственно. По свойству площадей подобных фигур имеем:
и 
Искомое отношение принимает наименьшее значение, если x =
. Это отношение равно 
Тот же результат можно получить иначе.
II способ. Пусть дан треугольник ABC, площадь которого равна S. Точка D взята на стороне BC этого треугольника, длина которой a. Пусть площади треугольников со сторонами CD и BD равны 
и 
соответственно.
Если точка D совпадает с точкой M — серединой стороны BC, то по свойству площадей подобных фигур имеем: S1 = S2 = S. В этом случае 
Если точка D не совпадает с точкой M, то пусть MD = x, по свойству площадей подобных фигур имеем:
и 
.
Таким образом, наименьшее значение искомого отношения равно.
Теперь решим задачу 2.
I способ. Пусть дана треугольная пирамида SABC, объём которой равен V. Точка D взята на ребре AS этой пирамиды, длина которого a, пусть
SD = x. Плоскости, параллельные граням ABC и SBC данной пирамиды, отсекают от него две пирамиды, подобные данной пирамиде. Пусть объёмы пирамид со рёбрами SD и AD равны 
и 
соответственно. По свойству объёмов подобных фигур имеем:
и 
Искомое отношение принимает наименьшее значение, если x =
. Это отношение равно 
Тот же результат можно получить иначе.
II способ. Пусть дана треугольная пирамида SABC, объём которой равен V. Точка D взята на ребре AS этого треугольника, длина которого a. Пусть объёмы пирамид со рёбрами SD и AD равны 
и 
соответственно. Если точка D совпадает с точкой M — серединой стороны BC, то по свойству объёмов подобных фигур имеем: V1 = V2 = V. В этом случае 
Если точка D не совпадает с точкой M, то пусть MD = x, по свойству объёмов подобных фигур имеем:
.
Таким образом, наименьшее значение искомого отношения равно.
Как видим, решения задачи про отсечённые пирамиды оказались полностью аналогичными решениям задачи про отсечённые треугольники.
Единственный отклик на задачи прислал — к. ф.-м. н., доцент кафедры естественно-научного образования Мордовского республиканского института образования (г. Саранск). Он считает присланные решения наиболее ожидаемыми.
Решение задачи 1
Пусть SABC =S, CD : DB = 1 : k, тогда площади отсеченных подобных треугольников равны 
, 
. Необходимо найти наименьшее значение их суммы 
. Производная этой функции 
обращается в 0 при k = 1, нетрудно убедиться, что это точка максимума. Таким образом, наименьшая часть отсеченных площадей треугольника равна 
, т. е. отсекаемая часть в виде вписанного параллелограмма имеет максимум, равный половине площади треугольника.
Эта задача известна в другой формулировке: Докажите, что максимум площади параллелограмма, вписанного в треугольник, равен половине его площади.
Решение задачи 2
Пусть VABC =V, SD : DA = 1 : k, тогда объёмы отсеченных подобных пирамид равны 
, 
. Необходимо найти наименьшее значение их суммы 
. Производная этой функции 
обращается в 0 при k = 1, нетрудно убедиться, что это точка минимума. Таким образом, наименьшая часть отсекаемых объёмов пирамиды равна 
.
Таким образом, общими усилиями найдены по три способа решения каждой задачи.
.
15.09.2017.
