Домашнее задание по курсу «Динамическая оптимизация в экономике и финансах»

Домашнее задание по курсу

«Динамическая оптимизация в экономике и финансах»

Домашнее задание присылает на адрес *****@***ru в виде архива, содержащего 2 файла (текстовый документ и либо таблица, либо код из R). Архив и его содержимое должны содержать в названии номер группы и фамилию автора.

Проверяющий оставляет за собой право на экзамене задать студенту, сдавшему задание в R, вопрос по коду. В случае невразумительного ответа, баллы за задание снимаются.

Все задачи оцениваются одинаково (в 10 баллов). Для получения итоговой оценки в 10 баллов требуется решить 5 задач. Для решения любой задачи может использоваться как Excel, так и R. 

В домашнем задании используются следующие параметры: - номер первой, второй и третьей буквы фамилии в алфавите соответственно, - номер первой, второй и третьей буквы имени в алфавите соответственно, - номер первой, второй и третьей буквы отчества (или снова имени, если таковое отсутствует) в алфавите соответственно. За основу используется алфавит, представленный здесь:

http://ru. wikipedia. org/wiki/%D0%A0%D1%83%D1%81%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BB%D1%84%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D1%82

Численно найдите экстремум функционала

       

Численно найдите экстремум функционала

       

Технологическая мощность предприятия M(t) в начале планового периода (5 лет, планирование осуществляется с шагом месяц) оценивалась в денежных единиц. В течение периода изменение мощности описывается по закону , где - инвестиции текущего месяца, - норма амортизации. Имеющаяся в текущем месяце мощность генерирует доход  , который без остатка делиться на , где - выводимый денежный поток (не может быть отрицательным), - налог на доходы предприятия. Месячная безрисковая процентная ставка в течение всего период равна 0,3%. Рассчитайте оптимальную стратегию наращивания технологической мощности, инвестиций и денежных потоков, максимизирующую NPV. Как изменится стратегия, если В начале 4 года безрисковая процентная ставка вырастет до 0,5%, Налог на доходы снизится в 2 раза, то есть , Норма амортизации увеличится в 2 раза, то есть .
Рассматривается задача управления портфелем активов российского резидента в течение 36 месяцев (начиная с января года до 31 декабря года), максимизирующего  приведенную стоимость будущих денежных потоков (cash flow) с дисконт-фактором в экспоненциальной форме . В портфель входят депозитный счет в долларах и депозитный счет в евро. Начальное состояние счетов – долларов и евро. К концу планового периода предполагается закрыть оба счета. Рассчитанное в рублях изменение остатков на счетах сопряжено с дополнительными издержками, описываемыми функциями и соответственно для счета в долларах и евро. Считается, что , .

Данные о курсах валют можно найти на сайте ЦБ: http://www. cbr. ru/statistics/print. aspx? file=credit_statistics/ex_rate_ind_14.htm&pid=svs&sid=analit

При планировании предполагается, что темпы роста курсов валют в течение оставшегося отрезка времени будут равны их темпам роста за предыдущий год. На момент планирования известны все предыдущие значения курсов. Планирование осуществляется каждое полугодие, начиная с 1 января года. Требуется

Для каждого этапа планирования построить оптимальные траектории остатков на валютных счетах до 31 декабря года, Сопоставить траекторию, реализованную по результатам полугодового планирования с траекторией, оптимальной в условиях полного знания динамики курсов.

В течение четырехлетнего планового периода (с шагом в 1 месяц) банк управляет объемом выданных кредитов и привлеченных депозитов . К началу планового периода банк имел задолженность в размере и портфель кредитов . Процентная ставка по безрисковому инструменту составляет 1%. Изменение текущего портфеля за счет выдачи кредитов или привлечения депозитов сопровождается расходами . Цель политики банка – максимизация суммарного показателя прибыли, рассчитываемой по формуле . Проведите тестирование возможности безубыточности деятельности банка. Для этого процентные ставки описываются как случайные величины, имеющие равномерное распределение на отрезках: по депозитам , по кредитам . Проведите 5 симуляций.
В процедуре поиска решений Hill Climbing требуется рандомизировать шаг смещения, считая, что он равномерно распределен на интервале . Новым методом рассчитать численное решение для вариационной задачи из пункта 1, полученное после 100, 1000, 10000 и 100000 итераций. Для 100 и 1000 итераций в отчете представить графики реализации случайного шага.
Использую процедуру GenSA, найдите численное решение задачи из пункта 1 при разных стартовых точках. Стартовая точка генерируются как функция , значения которой в каждый момент времени генерируются как нормально распределенные случайные величины, имеющие математическое ожидание и стандартное отклонение . В ответе представить среднюю по 100 реализациям траекторию . Выбрать наиболее близкое решение к решению, полученному методом Hill Climbing (или методом из пункта 6).
Найдите решение пункта 2, если в  качестве ограничения управления задано множество