Практическая работа № 1

По дисциплине: Научно-исследовательская работа студентов

На тему: «Определение критерия Фишера для оценки адекватности гипотезы исследования»

Цель работы: Определить достоверность гипотезы исследования по степени однородности при помощи расчета критерия Фишера.

Теоретическая часть.

Критерий Фишера позволяет сравнивать величины выбороч­ных дисперсий двух независимых выборок, а также оценивать качество уравнения регрессии.

В первом случае для вычисления фактического значения критерия Fфакт нуж­но найти отношение дисперсий двух выборок, причем так, что­бы большая по величине дисперсия находилась бы в числителе, а меньшая – в знаменателе. Формула вычисления критерия Фи­шера такова:

, где и - соответственно большая и меньшая дисперсии рассматриваемых случайных величин Х и У.

Так как, согласно условию критерия, величина числителя должна быть больше или равна величине знаменателя, то значе­ние Fфакт всегда будет больше или равно единице.

F табличный – это максимальное значение критерия под влиянием случайных факторов при текущих степенях свободы и уровне значимости . Уровень значимости α - вероятность отвергнуть пра­вильную гипотезу при условии, что она верна. Обычно α принимает­ся равной 0,05 или 0,01.

Чис­ло степеней свободы определяется следующим образом:

для первой выборки (т. е. для той выборки, величина дисперсии которой больше) и для второй выборки.

Табличное значение критерия находят по таблице критических точек распределения Фишера по заданному уровню значимости и числам степеней свободы и .

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Если Fфакт< Fтабл, то нулевая гипотеза (о равенстве генеральных дисперсий) принимается, в противном случае принимается альтернативная (о значимом различии дисперсий).

Для оценки качества уравнения регрессии посредством критерия Фишера, проверяется нулевая гипотеза Н0 о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого выполняется сравнение фактического Fфакт и табличного Fтабл зна­чений F-критерия Фишера.

Фактическое значение вычисляют по формуле:

, где n — число единиц совокупности, - коэффициент корреляции.

Табличное значение критерия Фишера вычисляют следующим образом:

Определяют k1, которое равно количеству факторов. Определяют k2, которое определяется по формуле n-m-1 , где n – число наблюдений, m – количество факторов. По таблице критических точек распределения Фишера на пересечении столбца k1 и строки k2 находят значение критерия Фишера.

Если Fтабл < Fфакт, то Н0 - гипотеза о случайной природе оцени­ваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность. Если Fтабл > Fфакт, то гипотеза Н0 принимается и признается статистическая незначимость модели, ненадежность уравнения регрессии.

Практическая часть.

Задание:

В двух цехах,  токарном и ремонтно-механическом, на каждом из двадцати рабочих мест проводились измерения шума с помощью шумометра.  Полученные средние значения величины шума, не лежат в одном диапазоне. Но медицинского работника больше интересует, есть ли различия в степени однородности показателей воздействия вредного фактора на организм человека. Результаты измерений приведены в таблице 1.

Таблица 1 – Результаты измерения уровня шума в цехах

Номер рабочего места

Уровень шума в токарном цеху, дБ

Уровень шума в ремонтно-механическом цеху, дБ

1.

90,85

80,66

2.

76,02

83,24

3.

89,50

87,21

4.

88,41

74,10

5.

81,22

77,56

6.

79,03

89,75

7.

83,14

81,32

8.

83,68

79,45

9.

90,00

88,12

10.

78,33

87,66

11.

81,29

86,41

12.

86,67

86,77

13.

87,20

79,12

14.

77,06

86,79

15.

87,16

79,16

16.

88,30

80,32

17.

81,50

80,46

18.

83,16

75,16

19.

84,79

76,12

20.

78,28

80,79

На основе данных таблицы необходимо рассчитать критерий Фишера, на основе полученных результатов сделать вывод о сходстве гипотезы о воздействии шума на организм человека в токарном и ремонтно-механическом цехах.

Решение.

Применим  первый F - критерий Фишера. Для критерия Фишера необходимо сравнить дис­персии уровня шума в токарном и ремонтно-механическом цехах. Пусть случайная величина Х - уровень шума в токарном цеху, дБ; У - уровень шума в ремонтно-механическом цеху, дБ. Для расчета дисперсий признаков Х и У найдем предварительно выборочные средние для Х и У по формулам:

, . Для случайных величин Х и У n=20.        

, .

Рассчитаем дисперсии для переменных X и Y, применяя определение дисперсии:

,  .

Составим расчетную таблицу:

№

1.

90,85

80,66

49,99197

1,818452

2.

76,02

83,24

60,20984

1,516592

3.

89,50

87,21

32,72412

27,0556

4.

88,41

74,10

21,44153

62,54437

5.

81,22

77,56

6,55104

19,78915

6.

79,03

89,75

22,55775

59,93082

7.

83,14

81,32

0,40896

0,474032

8.

83,68

79,45

0,0099

6,545922

9.

90,00

88,12

38,69462

37,35043

10.

78,33

87,66

29,69705

31,93945

11.

81,29

86,41

6,19761

19,3732

12.

86,67

86,77

8,35499

22,67188

13.

87,20

79,12

11,69982

8,343432

14.

77,06

86,79

45,15168

22,86274

15.

87,16

79,16

11,42778

8,113952

16.

88,30

80,32

20,43492

2,851032

17.

81,50

80,46

5,19612

2,397852

18.

83,16

75,16

0,38378

46,90195

19.

84,79

76,12

1,02111

34,67443

20.

78,28

80,79

30,2445

1,484742

Суммы

1675,59

1640,17

402,3991

418,6401

Среднее

83,7795

82,0085

20,11996

20,932

,

.

Сравним полученные дисперсии:

, т. е. дисперсия признака У большая по величине.

Вычислим значение F критерия Фишера по формуле:

, где и - соответственно большая и меньшая дисперсии рассматриваемых случайных величин Х и У.

.

По таблице значений F – критерия Фишера при k1 =20-1=19, k2 =20-1=19 и уровне значимости =0,05 находим Fтабл = 2,17.

Так как Fфакт< Fтабл, то нулевая гипотеза (о равенстве генеральных дисперсий) принимается.

Вывод: Fтабл > Fфакт  следовательно, в терминах статистических гипотез можно утвер­ждать, что Н0 (гипотеза о сходстве воздействия шума на организм человека в токарном и ремонтно-механическом цехах) принимается на уровне 95%. Можно утверждать, что по степени однородности такого показа­теля, как уровень шума, нет значимых различий между выбор­ками из двух цехов, т. е. воздействие шума на организм человека в токарном и ремонтно-механическом цехах различается незначимо.