Теория вероятностей
382. В лифт двенадцатиэтажного дома вошли три человека. Предположим, что каждый из них с равной вероятностью может выйти на любом из этажей, начиная со второго. Найти вероятность того, что все три пассажира сойдут на одном этаже; что только два пассажира сойдут на одном этаже.
Решение.
Пусть А – все три пассажира выйдут на одном этаже.
Вероятность того, что каждый из пассажиров выйдет на одном из одиннадцати этажей, равна 1/11. При этом выйти они могут на любом из 11 этажей. Так как события независимы, то по теореме умножения вероятностей:
Пусть B – два пассажира сойдут на одном этаже, С – два пассажира выйдут на одном этаже, третий пассажир выйдет на другом.
Вероятность того, что два пассажира сойдут на одном этаже, равна:
Вероятность того, что третий пассажир выйдет на любом из оставшихся 10 этажей равна 10/11, тогда вероятность того, что два пассажира выйдут на одном этаже, а третий на другом, равна:
392. Задана непрерывная случайная величина Х своей плотностью распределения f(x). Требуется:
1) определить коэффициент А;
2) найти функцию распределения F(х);
3) схематично построить графики функций f(x) и F(х);
4) вычислить математическое ожидание и дисперсию Х;
5) определить вероятность того, что Х примет значение из интервала (a;b).
Решение.
1) Определим коэффициент А из условия нормировки: 
2) Найдем функцию распределения F(х).
При 
имеем:
При 
имеем:
Таким образом, получаем:
3) Построим схематично графики функций f(x) и F(х).
4) Вычислим математическое ожидание и дисперсию Х.
Математическое ожидание найдем по формуле:
Будем интегрировать по частям:
. В качестве u выберем функцию х, 
, тогда 
.
Дисперсию найдем по формуле:
5) Определим вероятность того, что Х примет значение из интервала (a;b).
Находим следующим образом:
402. Нормально распределенная случайная величина Х задана своими параметрами а (математическое ожидание) и у (среднее квадратическое отклонение). Требуется:
а) написать плотность вероятности и схематически изобразить её график;
б) найти вероятность того, что Х примет значение из интервала (б;в);
в) найти вероятность того, что Х отклонится (по модулю) от а не более чем на д;
г) применяя правило «3у», найти крайние (допустимые) значения случайной величины Х.
Дано: а=3; у=1; б=4; в=6;.
Решение.
а) Плотность вероятности нормально распределенной величины имеет вид:
Где 
– математическое ожидание, 
– среднее квадратическое отклонение. В нашем случае 
, 
, тогда:
Изобразим график функции 
.
б) Найдем вероятность того, что Х примет значение из интервала (б;в) по формуле:
По таблице значений функции Лапласа находим 
, тогда 
в) Найдем вероятность того, что Х отклонится (по модулю) от а не более чем на д.
Воспользуемся формулой: 
В нашем случае:
г) Применяя правило «3у», найдем крайние (допустимые) значения случайной величины Х.
Согласно правилу «3у», все допустимые значения лежат в интервале 
, поэтому крайнее левое значение величины Х: 
, крайнее правое значение величины Х: 
412. АТС имеет k линий связи. Поток вызовов – простейший с интенсивностью л вызовов в минуту. Среднее время переговоров составляет t минут. Время переговоров распределено по показательному закону. Найти: 1) абсолютную и относительную пропускные способности АТС; 2) вероятность того, что все линии связи заняты; 3) среднее число занятых линий связи; 4) определить число линий связи АТС достаточное для того, чтобы вероятность отказа не превышала б.
Дано: k=4; л=0,8; t=4; б=0,05.
Решение.
1) Найдём абсолютную и относительную пропускные способности АТС.
Так как время переговоров распределено по показательному закону и среднее время переговоров t минут, то пропускная способность одной линии: a=1/t. Пропускная способность АТС, имеющей k линий: k/t=4/4=1 мин-1. Относительная пропускная способность: д=(k/t)/(tл)=1/(0,8Ч4)=0,3125
2) Вероятность того, что все линии связи заняты
Вероятность того, что все линии связи заняты, равна вероятности того, что за 1 мин поступит четыре вызова. Для этого воспользуемся формулой Пуассона:
В нашем случае:
3) Среднее число занятых линий связи
Среднее число занятых линий равно среднему числу вызовов: N=1/л=1/0,8=1,25
4) Определим число линий связи АТС достаточное для того, чтобы вероятность отказа не превышала б.
Так как вероятность того, что хотя бы одна линия связи свободна P1(k≥1)=1–P1(4)=1–0,006=0,994 больше чем вероятность безотказного прохождения вызова p=1–б=1–0,05=0,95, то АТС имеет число линий, достаточное для того, чтобы вероятность отказа не превышала 0,05.
Необходимо, чтобы
Если число линий связи равно 3, то
Если число линий связи равно 2, то
Таким образом, АТС достаточно иметь 3 линии связи, чтобы вероятность отказа не превышала 0,05.
