ZBМ-ММЭ-2-1
Контрольная 3 семестр
Задание контрольной работы
1. Вычислить неопределенные интегралы, результат проверить дифференцированием.
Вариант 1 1. 3. 5. | Вариант 2 1. 3. 5. |
Вариант 3 1. 3. 5. | Вариант 4 1. 3. 5. |
Вариант 5 1. 3. 5. | Вариант 6 1. 3. 5. |
Вариант 7 1. 3. 5. | Вариант 8 1. 3. 5. |
Вариант 9 1. 3. 5. | Вариант 10 1. 3. 5. |
2. 
4. 
6. 
2. 
4. 
6. 
2. 
4. 
6. 
2. 
4. 
6. 
2.
4. 
6. 
2. 
4. 
6. 
2. 
4. 
6. 
2. 
4. 
6. 
2. 
4. 
6. 
2. 
4. 
6. 
2. С помощью определенного интеграла вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.
Вариант 1. 
и осью 
.
Вариант 2. Фигура ограничена параболой 
, касательной к ней в точке М(2, -5) и осью ординат.
Вариант 3. 
Вариант 4. 
Вариант 5. Фигура ограничена параболой 
, касательной к ней в точке М(3, 5) и осью ординат.
Вариант 6. 
Вариант 7. 
координатными осями и прямой 
где с – абсцисса вершины параболы.
Вариант 8. 
(полукубическая парабола), 
и осью ординат.
Вариант 9. 
Вариант решения контрольной работы
Найти неопределенные интегралы.
.
Решение.
Произведем подстановку 
, т. е. 
, тогда 
. Тогда получим
Решение.
Воспользуемся преобразованием дифференциала: 
, тогда т. к. 
то получим
Решение.
Произведем подстановку 
; тогда 
, тогда 
Решение.
Разложим знаменатель на множители: 
.
Тогда разлагая подынтегральную дробь на сумму простейших, используя метод неопределенных коэффициентов, получим
Действительными корнями знаменателя являются числа 0 и 1. При х = 0 имеем 
, т. е. 
; при х = 1 имеем 
, т. е. 
. Перепишем последнее равенство в виде
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях аргумента в числителях левой и правой частей равенства, получим систему уравнений
Итак, 
Следовательно,
6. 
Решение.
Воспользуемся интегрированием по частям. Пусть 
, тогда 
. Тогда по формуле 
находим
3. С помощью определенного интеграла вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: 
, 
.
Решение.
Найдем точки пересечения параболы и гиперболы, для чего решим совместно уравнения этих кривых:
.
Левую часть последнего уравнения можно разложить на множители: 
, откуда 
. Таким образом кривые пересекаются в точках 
. (рис. 1). Следовательно,
Рисунок 1
