Резюме к главе 2
В главе рассматриваются несобственные интегралы первого рода – по бесконечным промежуткам и второго рода – от неограниченных функций. Они распространяют понятие определенного интеграла на ранее исключенные случаи. Эти интегралы широко используются в физических приложениях и в теории вероятностей. Они определяются как пределы собственных (определенных) интегралов. На несобственные интегралы распространяются формула Ньютона – Лейбница, многие свойства и методы интегрирования, изученные в теории определенного интеграла.
Вопросы и задачи для самоконтроля к §§1, 2 гл. 2, раздел 8
1. Сформулируйте определения трех видов несобственных интегралов по бесконечному промежутку.
2. Какой геометрический смысл несобственного интеграла первого рода по промежутку 
?
3. Вычислите по определению несобственные интегралы:
3.1. 
. 3.2. 
.
4. Применяя свойство линейности и формулу Ньютона – Лейбница, вычислите несобственный интеграл 
.
5. Установите расходимость интеграла 
непосредственно по определению.
6. Применяя формулу интегрирования по частям, вычислите интеграл 
.
7. Выполнив подстановку 
, вычислите интеграл 
.
Ответы, указания, решения к задачам для самоконтроля к §§1, 2 гл. 2, раздел 8
3.1. 
; 3.2. 1.
4. 
.
5. 
.
6. 
.
7. 
.
* Вопросы и задачи для самоконтроля к §§1, 2 гл. 2, раздел 8
1. Сформулируйте признак сравнения для несобственных интегралов по промежутку 
.
2. С помощью признака сравнения установите:
2.1. сходимость интеграла 
и
2.2. расходимость интеграла 
.
3. Сформулируйте предельный признак сравнения для несобственных интегралов по промежутку 
.
4. Укажите, при каких значениях 
интеграл 
сходится, а при каких значениях – расходится.
5. С помощью предельного признака сравнения исследуйте сходимость интегралов
5.1. 
; 5.2. 
.
6. Сформулируйте определения абсолютной и неабсолютной сходимости несобственного интеграла.
7. Покажите, что интеграл 
сходится абсолютно.
Ответы, указания, решения к задачам для самоконтроля к §§3, 4 гл. 2, раздел 8
2.1 
в промежутке 
. 
, поэтому данный интеграл сходится.
2.2. 
в промежутке 
. 
, поэтому данный интеграл расходится.
5.1. Расходится, так как 
при 
; 
расходится (
).
5.2. Сходится, так как 
при 
; 
сходится (
).
7. Сравните интеграл 
со сходящимся интегралом 
.
Вопросы и задачи для самоконтроля к §§5, 6 гл. 2, раздел 8
1. Сформулируйте определения интегралов второго рода в трех рассмотренных в §5 случаях.
2. Укажите геометрический смысл несобственного интеграла второго рода для промежутка 
при условии, что функция 
, стоящая под знаком интеграла, непрерывна на 
и стремится к 
при 
.
3. Вычислите интеграл 
, применив формулу Ньютона – Лейбница.
4. Вычислите интеграл 
, применив формулу интегрирования по частям.
*5. Установите сходимость или расходимость интеграла 
, применив предельный признак сравнения.
6. При каких значениях интеграл 
сходится, а при каких расходится?
Ответы, указания, решения к задачам для самоконтроля к §§5, 6 гл. 2, раздел 8
3. 2.
4. 
.
*5. Сходится, так как 
; 
.
Вопросы и задачи для самоконтроля к §§7 гл. 2, раздел 8
1. Сформулируйте определение гамма-функции. Укажите, в каких случаях интеграл, выражающий гамма-функцию, сходится, а в каких – расходится.
2. Перечислите свойства гамма-функции.
3. Основываясь на свойствах гамма-функции, вычислите:
3.1. 
; 3.2. 
.
4. Сформулируйте определение бета-функции. Укажите, в каких случаях интеграл, выражающий бета-функцию, сходится, а в каких – расходится.
5. Используя свойства бета - и гамма-функций, вычислите 
.
6. Используя свойства бета-функции, вычислите интегралы
6.1. 
; 6.2. 
; 6.3. 
.
Ответы, указания, решения к задачам для самоконтроля к §§7 гл. 2, раздел 8
3.1. 
.
3.2. 
.
5. 
.
6.1. 
.
6.2. 
.
6.3. 
.
