Задачи

Если поверхность задана уравнением  х = φ (y, z), то ее площадь

Q = dS,  где  D = пруoz Q.

Значит поверхностный интеграл по области Q мы можем свести к двойному по области D

=  .

Рассмотрим связь между интегралом по замкнутой поверхности и некоторым тройным интегралом по объему, ограниченному этой поверхностью.

Теорема. Если функции X (x, y, z),  У (x, y, z), Z (x, y, z) непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в области R, то имеет место формула

= .

Эта формула называется формулой Остроградского.

7.2. Рекомендации по решению типовых задач

Задача 1.  Вычислить  , где  Q – часть плоскости  x + 2y + 3z = 6, расположенная в I октанте.

Решение.

Построим плоскость Q, записав ее уравнение в отрезках на осях координат: = 1. Спроектируем плоскость Q на координатную плоскость ХОУ. Получим треугольник D, ограниченный линиями  х + 2у = 6,  x = 0,  y = 0.  Элемент поверхности  dq  находим по формуле:

dq =   dx dy.

Из уравнения плоскости выразим  z = (6 – x – 2y).

Найдем  = - ,         = - .

Тогда  dq =   dx dy = dx dy.

Вычисление поверхностного интеграла по поверхности Q  сводится к вычислению двойного интеграла по проекции D. Поэтому

= dx dy =

= = =

= dx = 3 dx =

= 3 = 54.

Задача 2. Найти площадь части параболоида 

z = 2 - ,  расположенной под плоскостью хоу.

Решение.

Для вычисления площади поверхности используем формулу  S = . Из уравнения параболоида найдем

= - х, = - у                dq = dx dy

S = = dx dy.

Так как область D – круг, то перейдем к полярным координатам  х2 + у2 = r2,  dx dy = r dr dφ.

S = dr = =

= (5 - 1) = (5 - 1) φ = (5 - 1).

Задача 3. Найти массу полусферы  z = ,  если плотность равна расстоянию до плоскости xoz.

Решение.  m = ,  где  ρ = у

= - ,         = -

d q = dx dy =

= dx dy = .

m = = R =

= 4R φ dφ = =

= 4R φ dφ t dt =

= sin φ dφ =

= sin φ dφ = 2 R3 ⋅ φ dφ =

= π R3 (- cos φ)   = π R3.

Задача 4. C помощью формулы Остроградского вычислить интеграл  , где Q - поверхность пирамиды, грани которой заданы уравнениями

x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 1,  а  α, β, γ - углы, которые внешняя нормаль к поверхности образует с осями Ох, Oy, Oz.

Решение. Поверхность Q образована четырьмя плоскостями, поэтому нам пришлось бы вычислять четыре поверхностных интеграла, чтобы получить интеграл по Q. Но так как поверхность Q замкнутая, то по формуле Остроградского поверхностный интеграл по Q можно заменить тройным интегралом по объему R, ограниченному поверхностью Q.

Запишем формулу Остроградского

= .

В нашем примере  Х = ху,  У = yz,  Z = xz.

Найдем  = у,         = z,         = x.

= .

Тело  R изображено на рисунке.

По известному правилу расставляем пределы в тройном интеграле:

= =

= dy =

= dy =

= dx =

= dx = = .

7.3. Задачи для самостоятельного решения

В задачах 1 – 4 вычислить интегралы.

, где Q – часть плоскости

+ + = 1, лежащая в первом октанте.

                                       Ответ.  4 .

2. , где Q – боковая поверхность конуса

+ - = 0                (0 ≤ z ≤ b).

                                       Ответ.  .

3. , где Q – полусфера

z = .                                Ответ.  π R3.

4. , где Q – часть конической поверхности

х2 + у2 – z2 = 0, заключенной между плоскостями  z = 0,  z = 1.

                                               Ответ. .

В задачах 6 – 8 найти площади указанных частей данных поверхностей.

6. Части плоскости  6х + 3у + 2z = 12, заключенной в первом октанте.                                Ответ. 14.

7. Части  y2 + z2 – x2 = 0, лежащей внутри цилиндра

х2 + у2 = R2.                                        Ответ. π R2.

8. Части  z2 = 4x, вырезанной цилиндром  у2 = 4х  и плоскостью  х = 1.                                        Ответ..

9. Найти массу поверхности куба  0 ≤ х ≤  1,  0 ≤ y ≤  1,

0 ≤ z ≤  1, если поверхностная плотность в точке М (x, y, z) равна хуz.                                        Ответ.  .

10. Вычислить с помощью формулы Остроградского интеграл  , где Q – поверхность, расположенная в первом октанте и составленная из цилиндра

x2 + y2 = R2  и  плоскостей  х = 0,  y = 0,  z = 0,  z = Н.

                                       Ответ. R2 H .