Предел последовательности

Тема 10. Предел последовательности

09-10-03. Предел последовательности

Теория

3.1. Рассмотрим последовательность с общим членом . Она образуется как последовательность чисел 2, , , и так далее. Если изобразить их на числовой прямой, то легко заметить, что они все ближе и ближе приближаются к единице. Рассмотрим разности между членами последовательности и единицей. Последовательность с общим членом

имеет своим пределом нуль, так как для любого натурального числа неравенство выполняется для всех . Поэтому естественно считать число 1 пределом данной последовательности.

Всякое другое число, не равное 1, уже не может быть пределом этой последовательности.

Общее определение предела последовательности следующее.

Число называется пределом последовательности , если последовательность

сходится к нулю.

Если последовательность , , ..., , ... имеет предел , то говорят также, что она сходится к числу и пишут

Для сходящейся последовательности только одно число может быть ее пределом.

3.2. Сходимость последовательности , , ..., ,... к нулю означает, что для всякого натурального числа найдется такое число , что для всех выполняется неравенство , то есть

               (1)

Условие (1) можно переписать в виде

               (2)

или в виде

               (3)

Таким образом, сходимость последовательности , , ..., , ... к числу геометрически означает, что для любого натурального числа интервал содержит все члены последовательности с номерами , большими числа , зависящего от .

Рассмотрим еще несколько примеров.

Пример 1. Покажем, что последовательность с общим членом сходится к 1.

Положим .

Тогда , .

Если взять произвольное натуральное число , то неравенство или выполняется для всех . Следовательно, , откуда .

Пример 2. Покажем, что последовательность с общим членом сходится к 4. Так как

то

Получаем последовательность из примера 2 пункта 2.1. Поэтому .

Пример 3. Покажем, что последовательность с общим членом сходится к 3.

Так как , то рассмотрим разность . Получаем последовательность из примера 2 пункта 2.3. Поэтому , откуда .

3.3. Рассмотрим некоторую последовательность , сходящуюся к числу . Иногда вместо

пишут

что читается так: -эн стремится к при эн, стремящемся к бесконечности.

3.4. Пусть известно, что при . Тогда разности стремятся к нулю при . Поэтому для любой выбранной точности начиная с некоторого числа все разности при можно считать приблизительно равными нулю с такой точностью. Это значит, что сами члены последовательности при можно считать приближенно равными числу .

Например, для последовательности

имеем

Отсюда следует, что с точностью до 0,1 все члены последовательности приближенно равны ; с точностью до 0,01 начиная со второго все члены приближенно равны ; с точностью до 0,001 начиная с третьего все члены приближенно равны , и так далее.

Контрольные вопросы

1. Какая последовательность называется сходящейся к нулю?

2. Как геометрически определить сходимость последовательности к нулю?

3. Может ли бесконечное число членов сходящейся к нулю последовательности быть больше ?

Задачи и упражнения

1. Докажите, что

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) .

2. Найдите , если:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

3. С какого момента все члены последовательности можно с точностью до считать равными своему пределу, если:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

4. При каких значениях параметра последовательность , где , имеет предел, равный :а) 1;  б) 0?

5. При каких значениях параметра последовательность , где , не имеет предела?

Ответы и указания

Задача 3. С какого номера все члены последовательности можно с точностью до считать равными своему пределу, если:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

Указание. а) Составим неравенство и получим , откуда ;

б) составим неравенство и получим , откуда ;

в) составим неравенство и получим , откуда , ; такое неравенство верно при ;

г) прежде всего заметим, что , затем составим неравенство , откуда ; в результате, если , то ;

д) прежде всего заметим, что , поэтому , но так как при , то при ;

е) .

Задача 4. При каких значениях параметра последовательность , где , имеет предел, равный: а) ; б) ?

Указание. Пусть . Обозначив , по неравенству Бернулли имеем , откуда следует, что последовательность неограниченна, а поэтому предела не имеет.

Пусть . Тогда , где , и используя неравенство Бернулли получаем . С помощью этого неравенства для каждого натурального можно найти число так, что при всех . Поэтому при имеем .

При имеем при всех , поэтому .

При имеем при всех , поэтому .

При имеем следующую последовательность , , , , ..., которая предела не имеет.

В этих указаниях содержится также и ответ на задачу 5.