ПРОГРАММА

Наименование дисциплины Оптимизация и выпуклый анализ

010100 «Математика»

Квалификации (степени) выпускника Бакалавр

Цели и задачи дисциплины:

Основными целями курса является приобретение учащимися знаний и навыков в теории выпуклых множеств, теории выпуклых функций, теории двойственности, теории субдифференциального исчисления выпуклых функций, овладение методами решения выпуклых экстремальных задач.

2. Место дисциплины в структуре ООП:

Учебная дисциплина «Оптимизация и выпуклый анализ» входит в профессиональный цикл; требования к входным знаниям и умениям студента – знание математического и функционального анализа; данная дисциплина является предшествующей для следующих дисциплин: методы оптимизации оптимальное управление, математическая экономика, теория игр и исследование операций, математические модели в экономике.

3. Требования к результатам освоения дисциплины:

Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих профессиональных компетенций:

эконометрические

В результате изучения дисциплины студент должен:

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Знать:

основные понятия и теоремы теории выпуклых множеств; основные понятия и теоремы теории выпуклых функций; теоремы об отделимости; понятия сопряженной и опорной функции; основные понятия и теоремы теории субдифференциального исчисления выпуклых функций;

Уметь:

доказывать утверждения выпуклого анализа; решать задачи выпуклого анализа; применять полученные навыки в других областях математического знания и дисциплинах естественнонаучного содержания;

Владеть:

аппаратом выпуклого анализа; методами доказательства утверждений; навыками освоения большого объема информации и решения сложных и нестандартных задач; предметным языком математики и навыками грамотного решения задач и представления полученных результатов.

4. Объем дисциплины и виды учебной работы

Вид учебной работы	Всего часов / зачетных единиц	Семестры
1	2
Аудиторные занятия (всего)	54	-	54
В том числе:
Лекции	36	-	36
Практические занятия (ПЗ)
Семинары (С)	18	-	18
Лабораторные работы (ЛР)
Самостоятельная работа (всего)	54	-	54
В том числе:
Курсовой проект (работа)
Расчетно-графические работы
Реферат
Другие виды самостоятельной работы
Самостоятельная работа
Выполнение домашнего задания	54	-	54
Вид промежуточной аттестации (зачет, экзамен)
Общая трудоемкость часы зачетные единицы	108	-	108
3	-	3

5. Содержание дисциплины

5.1. Содержание разделов дисциплины

1. Выпуклые множества. Выпуклая, аффинная и линейная оболочка множества

1.1. Выпуклые множества и их свойства

Понятие выпуклого множества. Выпуклая комбинация. Пересечение выпуклых множеств. Линейная комбинация выпуклых множеств. Сдвиг выпуклого множества на вектор.

1.2. Выпуклая оболочка множества

Выпуклая оболочка множества. Теорема Каратеодори. Выпуклая оболочка компакта. Выпуклая оболочка замкнутого множества. Выпуклая оболочка ограниченного множества.

1.3. Внутренность выпуклых множеств

Внутренность выпуклых множеств. Выпуклая оболочка открытого множества.

1.4. Аффинная оболочка и относительная внутренность

Аффинная комбинация. Аффинная оболочка множества. Понятие многообразия. Пересечение произвольного количества аффинных многообразий. Сдвиг аффинного многообразия на вектор. Свойства аффинной и линейной оболочки множества. Понятие аффинной независимости системы векторов (точек). Необходимое и достаточное условие аффинной независимости системы векторов (точек). Барицентрические координаты вектора (точки). Понятие n-мерного симплекса. Внутренность n-мерного симплекса. Понятие относительной внутренности множества. Относительная внутренность выпуклого множества.

2. Выпуклые функции

2.1. Выпуклые функции. Основные определения. Критерий выпуклости

Понятие выпуклой функции. Надграфик функции. Неравенство Йенсена. Эффективное множество функции. Понятие собственной функции. Максимум выпуклых функций. Суперпозиция выпуклых функций. Критерий выпуклости функции.

2.2. Замкнутость, ограниченность, непрерывность и липшицевость

Понятие полунепрерывности сверху (снизу). Множество Лебега. Симплектические мноества. Необходимые условия непрерывности и липшицевости функций.

3. Теоремы об отделимости

Функционал Минковского. Его свойства. Теорема Хана-Банаха. Понятие отделимости (строгой отделимости) множеств. Теоремы об отделимости.

4. Сопряженные функции

Замыкание функции. Понятие сопряженной функции. Свойства сопряженной функции. Неравенство Юнга-Фенхеля. Теорема Фенхеля-Моро. Понятие инфимальной конволюции функций. Свойства инфимальной конволюции функций.

5. Опорные функции

Опорная функция множества. Свойства опорной функции множества.

6. Элементы теории двойственности. Задачи линейного программирования

Задача линейного программирования. Теорема о существовании решения задачи линейного программирования. Двойственная задача линейного программирования.

7. Выпуклые конусы

Конус. Заостренный конус. Сопряженный конус. Свойства сопряженного конуса. Лемма Фаркаша. Лемма о конечно порожденном конуса.

8. Дифференцируемость и субдифференцируемость

Производная по направлению. Свойства производной по направлению. Субградиент функции в точке. Субдифференциал функции в точке. Свойства субдифференциала функции. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости в точке выпуклой функции. Теорема Моро-Рокафеллара.

5.2 Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми

(последующими) дисциплинами

№ п/п	Наименование обеспечиваемых (последующих) дисциплин	№ № разделов данной дисциплины, необходимых для изучения обеспечиваемых (последующих) дисциплин
1	2	3	4	5	6	7	8
1.	Методы оптимизации	+
2.	Оптимальное управление	+	+	+	+
3.	Математическая экономика	+	+	+	+	+	+	+	+
4.	Теория игр и исследование операций	+	+	+	+	+	+	+	+
5.	Математические модели в экономике	+	+	+	+	+	+	+	+

5.3. Разделы дисциплин и виды занятий

№ п/п	Наименование раздела дисциплины	Лекц.	Практ. зан.	Лаб. зан.	Сем.	СРС	Все-го
1.	Выпуклые множества. Выпуклая, аффинная и линейная оболочка множества	8	-	-	4	12	24
2.	Выпуклые функции	6	-	-	2	8	16
3.	Теоремы об отделимости	4	-	-	2	6	12
4.	Сопряженные функции	4	-	-	2	6	12
5.	Опорные функции	4	-	-	2	6	12
6.	Элементы теории двойственности. Задачи линейного программирования	2	-	-	2	4	8
7.	Выпуклые конусы	4	-	-	2	6	12
8.	Дифференцируемость и субдифференцируемость	4	-	-	2	6	12
Итого:	36	-	-	18	54	108

6. Лабораторный практикум

№ п/п	№ раздела дисциплины	Наименование лабораторных работ	Трудо-емкость (часы/за-четные единицы)
1.
2.
3.
…

7. Примерная тематика курсовых проектов (работ)_______________________________

_____________________________________________________________________________

8. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины:

а) основная литература

1. Пшеничный анализ и экстремальные задачи. М., Наука, 1980

2. ыпуклый анализ. М., Мир, 1973.

3. , Тихомиров экстремальных задач. М., Наука, 1974.

4. еория выпуклых тел. М.: ФАЗИС, 2002.

5. Магарил-, Тихомиров анализ и его приложения. М. Эди ториал УРСС, 2000.

6. , Балашов выпуклого и сильно выпуклого анализа. М. Физматлит, 2004.

б) дополнительная литература

Астафьев неравенства и выпуклость.- М.: Наука, 1982.- 153 с. Васильев оптимизации. М.: Факториал Пресс, 2002. , Третьяков функции Лагранжа. Теория и методы оптимизации. М.:Наука, 1989. , Васильев оптимизация.- М.: Наука, 1981.- 383 с. , Астафьев в теорию линейного и выпуклого программирования.- М.: Наука, 1976.- 192 с. ыпуклые множества.- М.: Наука, 1985. - 335 с. -П., рикладной нелинейный анализ. М.: Мир, 1988. Половинкин теории многозначных отображений. Учеб. пособие, М.: Изд-во Москов. физ.-тех. инст., 1982. Поляк в оптимизацию.- М.: Наука, 1983. - 384 с. Пшеничный условия экстремума.- М.: Наука, 1969.- 151 с. Hiriart-Urruty J. B., Lemarechal C. Convex analysis and Minimization algorithms. Springer-Verlag, 1993. Vol. I.- 420 p. Vol. II.- 348 p.

9. Материально-техническое обеспечение дисциплины:

Microsoft

Общий аудиторный фонд:

поточные аудитории Зал № 1, Зал № 2, 485, 495, 497 в учебном корпусе РУД, ул. Орджоникидзе, д. 3 (проекторы –3 шт., ксероксы – 2 шт., сканеры – 2 шт.); групповые аудитории в учебном корпусе РУДН, ул. Орджоникидзе, д. 3 на 3, 4 и 5 этажах.

10. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины:

Контроль знаний студентов включает формы текущего и итогового контроля. Текущий контроль осуществляется в виде контрольной работы и домашних заданий. Продолжительность контрольной работы — 90 минут. Итоговый контроль осуществляется в виде итогового испытания с теоретической и практической частью.

Вид задания	Число заданий	Кол-во баллов	Сумма баллов
1. Контрольная работа	3	10	30
2. Лабораторные работы
3. Домашнее задание
4. Коллоквиум
5. Реферат
6. Посещение занятий			10
7. Работа на семинаре			10
8. Итоговое испытание	2 теоретических вопроса и задача	20 и 10	50
ИТОГО			100

Соответствие систем оценок (используемых ранее оценок итоговой академической успеваемости, оценок ECTS и балльно-рейтинговой системы (БРС) оценок текущей успеваемости) (В соответствии с Приказом Ректора № 000 от 01.01.2001 г.):

Баллы БРС	Традиционные оценки в РФ	Баллы для перевода оценок	Оценки	Оценки ECTS
86 – 100	5	95 - 100	5+	A
86 - 94	5	B
69 – 85	4	69 - 85	4	C
51 – 68	3	61 - 68	3+	D
51 - 60	3	E
0 – 50	2	31 - 50	2+	FX
0 - 30	2	F

Студенты обязаны сдавать все задания в сроки, установленные преподавателем. Разрешить переписывать контрольную работу, если по ней получено менее половины планируемых баллов, при этом, по усмотрению преподавателя, аннулируются ранее полученные по этой контрольной работе баллы. Планировать переписывание контрольной работы после разбора типичных ошибок, необходимых консультаций и в период времени не более трёх недель после предыдущей контрольной. Проверку выполнения домашних заданий, с проставлением баллов за эту работу, проводить не менее двух раз в семестр (см. п.2). При выставлении баллов за посещение занятий должно учитываться наличие лекционного материала и активная работа студента на семинаре. Отсрочка в переписывании контрольной работы и сдачи домашнего задания считается уважительной только в случае болезни студента, что подтверждается наличием у него медицинской справки. Планировать выполнение контрольной работы не позднее двух недель после выздоровления. Студент допускается к итоговому испытанию с любым количеством баллов, набранном в семестре, но при условии, что у студента имеется теоретическая возможность получить не менее 31 балла.. Если в итоге за семестр студент получил менее 31 балла, то ему выставляется оценка F и студент должен повторить эту дисциплину в установленном порядке. Если же в итоге студент получил не менее 31 балла, т. е. Fx, то студенту разрешить добор необходимого (до 51) количества баллов путём повторного одноразового выполнения предусмотренных контрольных мероприятий, аннулировав, по усмотрению преподавателя, соответствующие предыдущие результаты. Ликвидацию задолженностей проводить в период с 07.02 по 28.02 (с 07.09 по 28.09) по согласованию с деканатом. Итоговая контрольная работа содержит _3__ вопроса(ов). На подготовку к ответу отводится _1,5__ час(ов), после чего может производиться устный опрос студента. Оценивается работа из _50___ баллов независимо от оценки, полученной в семестре.

Разработчики:

Ассистент кафедры нелинейного анализа и оптимизации, кандидат физико-математических наук

Программа. Наименование дисциплины Оптимизация и выпуклый анализ