ПРИЛОЖЕНИЕ
Спецкурс программы специалитета, полугодовой: Теория потенциала. Преподаватель: проф. . Аннотация курса: Потенциалы простого и двойного слоя. Применение потенциалов к решению задач Дирихле и Неймана для гармонических функций. Граничные интегральные уравнения. Метод граничных элементов. Тепловые потенциалы. Краевые задачи теплопроводности в нецилиндрических областях и интегральные уравнения типа Вольтерры. Тематическое содержание курса:
Тема 1 | Фундаментальное решение уравнения Лапласа. Общие свойства. |
Тема 2 | Формула Грина. Теорема о среднем для гармонических функций. |
Тема 3 | Теоремы единственности для внутренней и внешней задач Дирихле. |
Тема 4 | Теоремы единственности для внутренней и внешней задач Неймана. |
Тема 5 | Потенциалы простого и двойного слоя. Общие свойства. |
Тема 6 | Формула «скачка» для потенциала двойного слоя. |
Тема 7 | Применение потенциала двойного слоя для решения внутренней задачи Дирихле. |
Тема 8 | Модифицированный потенциал двойного слоя и внешняя задача Дирихле. |
Тема 9 | Разрешимость внутренней задачи Неймана и потенциал простого слоя. |
Тема 10 | Решение внешней задачи Неймана. |
Тема 11 | Непрерывная зависимость решений краевых задач от граничных функций. |
Тема 12 | Формула Грина и другой подход к использованию интегральных уравнений в краевых задачах. |
Тема 13 | Интегральные уравнения в краевых задачах в областях с негладкими границами. |
Тема 14 | Интегральные уравнения, индуцированные краевыми задачами, в пространстве |
Тема 15 | Метод граничных элементов. |
Тема 16 | Тепловые потенциалы простого и двойного слоя. Общие свойства. |
Тема 17* | Применение тепловых потенциалов к решению краевых задач теплопроводности в нецилиндрических областях. |
.* - если специальный курс читается в нечетном семестре (продолжительность нечетного семестра 18 недель, четного семестра 17 недель).
Типовые контрольные задания или иные материалы, необходимые для оценки результатов обучения, характеризующих этапы формирования компетенций.
Вопросы к экзамену.
Гармонические функции. Фундаментальное решение уравнения Лапласа. Общие свойства. Формула Грина. Теорема о среднем для гармонических функций. Принцип максимума. Теоремы единственности для внутренней и внешней задач Дирихле. Теоремы единственности для внутренней и внешней задач Неймана. Потенциалы простого и двойного слоя. Общие свойства. Формула «скачка» для потенциала двойного слоя. Сопряженные интегральные операторы. Применение потенциала двойного слоя для решения внутренней задачи Дирихле. Модифицированный потенциал двойного слоя и внешняя задача Дирихле. Разрешимость внутренней задачи Неймана и потенциал простого слоя. Решение внешней задачи Неймана. Непрерывная зависимость решений краевых задач от граничных функций. Формула Грина и другой подход к использованию интегральных уравнений в краевых задачах. Интегральные уравнения в краевых задачах в областях с негладкими границами. Интегральные уравнения, индуцированные краевыми задачами, в пространстве
. Тепловые потенциалы простого и двойного слоя. Формула «скачка» для потенциала двойного слоя. Потенциал двойного слоя и первая краевая задача теплопроводности. Вторая краевая задача теплопроводности в нецилиндрических областях. Текущий контроль успеваемости – коллоквиум на 12-й неделе.
Вопросы к коллоквиуму:
Гармонические функции. Фундаментальное решение уравнения Лапласа. Общие свойства. Формула Грина. Теорема о среднем для гармонических функций. Принцип максимума. Теоремы единственности для внутренней и внешней задач Дирихле. Теоремы единственности для внутренней и внешней задач Неймана. Потенциалы простого и двойного слоя. Общие свойства. Формула «скачка» для потенциала двойного слоя. Сопряженные интегральные операторы. Применение потенциала двойного слоя для решения внутренней задачи Дирихле. Модифицированный потенциал двойного слоя и внешняя задача Дирихле. Решение внутренней задачи Неймана. Решение внешней задачи Неймана.Перечень основной и дополнительной учебной литературы: Бицадзе математической физики. – М.: Наука, 1982. Бицадзе задачи для эллиптических уравнений второго порядка. – М.: Наука, 1966. Владимиров математической физики. – М.: Наука, 1988. Михлин уравнения в частных производных. – М.: Высшая школа, 1977. , , Уральцева и квазилинейные уравнения параболического типа. – М.: Наука, 1967. , Самарский математической физики. – М.: Издательство МГУ, 2004. равнения с частными производными параболического типа. – М.: Мир, 1968. , Тихонов уравнения. – М.: Физматлит, 2004. Гюнтер потенциала и ее применения к основным задачам математической физики. – М.: Гостехиздат, 1953. Электронная версия: www. theorphysics. info/Пионер/ 2012. етоды интегральных уравнений в теории рассеяния. – М.: Мир, 1987. Михлин по линейным интегральным уравнениям. – М.: Физматлит, 1959. О гладкости тепловых потенциалов. Диф. ур., т. 4, №№ 2, 5. О потенциалах для 2p – параболических уравнений. Дифф. ур., 1983, т. 19, № 1, c. 9-19. Бадерко задачи для параболического уравнения и граничные интегральные уравнения. Дифф. ур., 1992, т. 28, № 1, c. 581-583. Bitsadze A. V. Integral Equations of the First Kind. World Scientific Pub. Co., Singapore, 1995. Chen G., Zhou J. Boundary Element Methods. New-York: Academic Press, 1992. Dautray R, Lions J.- L. Mathematical Analysis and Numerical Methods for Science and Technology. Vol.4: Integral Equations and Numerical Methods. – Berlin: Springer, 2000. Hackbusch W. Integral Equations. Theory and Numerical Treatment. Birkhӓuser, 2012. Hsiao G., Wendland W. Boundary Integral Equations. Springer, 2008. Kress R. Linear Integral Equations. Springer, 2014. Baderko E. Parabolic problems and boundary integral equations. Math. Methods Appl. Sci., 1997, v. 20, pp. 449-459.
Перечень ресурсов информационно-телекоммуникационной сети «Интернет»:
www.eqworld. ipmnet. ru /Интегральные уравнения.
Программа утверждена на заседании кафедры математического анализа
Протокол № 6 от 17 декабря 2014 г.
