Задание

Изобразить на координатной плоскости множество точек плоскости, удовлетворяющих условию:  x2 - 2│x│ + y2 - 2│y│ + 1 ≤  0 Решите уравнение:   На горизонтальной плоскости из трех точек, отстоящих от основания радиоантенны на расстояния 100, 200, 300 м, измерили угол, под которым видна антенна. Измеренные углы в сумме составляют 90°. Чему равна высота антенны? Найти наименьшее значение функции .

Решения

Решение:  Условие перепишем в виде :  (│x│-1)2 + (│y│ - 1)2 ≤  1.

x<0, y≥0  Y  x≥0, y≥0   1   x   x<0, y<0        x≥0, y≥0

Решение.  Пусть = a, а ≥ 0,  x – 1 = a2;

  = b, b ≥ 0,  x + 3 = b2;

  x2 + 2x – 3 = (x-1)(x+3).

  2x = a2 +  b2 - 2

Получим уравнение: a + b + 2ab = 4 -  a2 -  b2 + 2;  a + b + 2ab +  a2 +  b2 – 6 =0;

(a+b)2 + (a+b) - 6 = 0

Пусть a + b = t.  По теореме Виета получим, t1= -3, t2 = 2. Т. к. а ≥ 0 и b ≥ 0, то a + b = 2.  Получаем уравнение: = 2.

Решив его, получим, что x = 1.

3. Решение. Пусть х — высота антенны в метрах, а б, в, г— углы, под которыми она видна из точек, отстоящих на 100, 200 и 300 м от ее основания. Тогда

tg б = , tg в =   tg г = ;

По условию задачи б + в + г = 90°, поэтому

tg г =

Следовательно,  = 100 - 200, а поскольку высота антенны х может выражаться лишь положительным числом, то х = 100 м.

4. Решение. Преобразуем выражение функции, перемножив крайние скобки и средние: . Введем новую переменную . Тогда функция y примет вид , наименьшее значение которого . Остается убедиться, что существуют значения переменной , при которых . Поскольку дискриминант квадратичного уравнения положителен, то такие существуют.

VIІ региональный турнир им. 10 класс Изобразить на координатной плоскости множество точек плоскости, удовлетворяющих условию:  x2 - 2│x│ + y2 - 2│y│ + 1 ≤  0 Решите уравнение:   На горизонтальной плоскости из трех точек, отстоящих от основания радиоантенны на расстояния 100, 200, 300 м, измерили угол, под которым видна антенна. Измеренные углы в сумме составляют 90°. Чему равна высота антенны? Найти наименьшее значение функции . Каждое задание оценивается в 7 баллов.

VIІ регіональний турнір ім. 10 клас Зобразити на координатній площині множину  точок площині, що відповідають умові: x2 - 2│x│ + y2 - 2│y│ + 1 ≤ 0. Розв’яжіть  рівняння: На горизонтальній площині з трьох точок, що відстоять від основи радіоантени на відстані 100, 200, 300 м, виміряли кут, під яким видно антену. Виміряні кути в сумі становлять90° градусів. Чому дорівнює висота антени? Знайти найменше значення функції. Кожне завдання оцінюється в 7 балів.

VIІ региональный турнир им. 10 класс Изобразить на координатной плоскости множество точек плоскости, удовлетворяющих условию:  x2 - 2│x│ + y2 - 2│y│ + 1 ≤  0 Решите уравнение:   На горизонтальной плоскости из трех точек, отстоящих от основания радиоантенны на расстояния 100, 200, 300 м, измерили угол, под которым видна антенна. Измеренные углы в сумме составляют 90°. Чему равна высота антенны? Найти наименьшее значение функции . Каждое задание оценивается в 7 баллов.

VIІ регіональний турнір ім. 10 клас Зобразити на координатній площині множину  точок площині, що відповідають умові: x2 - 2│x│ + y2 - 2│y│ + 1 ≤ 0. Розв’яжіть  рівняння: На горизонтальній площині з трьох точок, що відстоять від основи радіоантени на відстані 100, 200, 300 м, виміряли кут, під яким видно антену. Виміряні кути в сумі становлять90° градусів. Чому дорівнює висота антени? Знайти найменше значення функції. Кожне завдання оцінюється в 7 балів.