Билет

Билет № 1

А  1.1. Дайте определение скрещивающихся пря­мых. Сформулируете и докажите признак скрещи­вающихся прямых.

2. Сформулируйте теорему о трех перпендикуля­рах.

3. Сформулируйте теорему о линиях пересече­ния двух параллельных плоскостей третьей плос­костью.

4. Дайте определение прямой, параллельной пло­скости.

5. Сформулируйте аксиомы стереометрии.

В  I. Верно ли, что если две прямые в простран­стве перпендикулярны к третьей прямой, то эти прямые параллельны?

2. Прямая а параллельна плоскости б. Существуют ли на плоскости б прямые, не параллельные а? если да, то каково их взаимное расположение?

3. Две стороны параллелограмма параллельны плоскости а. Параллельны ли плоскость парал­лелограмма и плоскость б?

4. В тетраэдре АВСД все ребра равны между со­бой. Укажите: а) отрезок, длина которого равна рас­стоянию от точки В до плоскости АСД; б) отрезок, длина которого равна расстоянию между прямыми АС и ВД.

БИЛЕТ № 3

А 1. 1. Дайте определение прямой, параллельной плоскости.

Сформулируйте и докажите признак параллельности прямой и плоскости.

2. Сформулируйте аксиомы стереометрии.

3. Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости.

4. Дайте определение скрещивающихся прямых.

5. Сформулируйте следствия из аксиом стереометрии.

В. 1.Даны треугольник АВС и плоскость б, АВ||б, АС||б. Каково взаимное положение прямой ВС и плоскости б?

2. АВ┴б, СД┴б, Вєб, Дєб, АВ=СД. Каково взаимное положение прямой АС и плоскости б?

3. АВСДА1В1С1Д1  куб. Укажите отрезок, дли­на которого равна расстоянию между прямой АВ1 и плоскостью ОСС1.

БИЛЕТ № 2

А 1.  Дайте определение прямой, перпендикуляр­ной плоскости.

Сформулируйте и докажите при­знак перпендикулярности прямой и плоскости.

2. Сформулируйте признак параллельности двух плоскостей.

3. Сформулируйте теорему об углах с сонаправленными сторонами.

4. Дайте определение параллельных прямых.

5. Сформулируйте следствия из аксиом стереометрии.

В. 1. Верно ли, что если две прямые не имеют общих точек, то они параллельны? Ответ обоснуйте.

2. Боковые стороны трапеции параллельны не­которой; плоскости а. Параллельны ли плоскость а и плоскость трапеции? Ответ обоснуйте.

3. В тетраэдре АВСО укажите: а) отрезок, длина которого равна расстоянию между прямыми АО и ВС

БИЛЕТ № 4

А 1.  Сформулируйте аксиомы стереометрии. Сформулируйте и докажите следствия из аксиом стереометрии.

2. Сформулируйте признак перпендикулярности  плоскостей.

3. Сформулируйте признак параллельности пря мой и плоскости.

4. Дайте определение прямой, перпендикулярной  плоскости.

5. Дайте определение параллельных прямых.

В. 1. Дана прямая и две пересекающиеся плоскости. Охарактеризуйте все возможные случаи их взаимного расположения.

2. Две плоскости параллельны одной прямой.  Параллельны ли эти плоскости между собой? Ответ обоснуйте.

3. Дан наклонный параллелепипед АВСДА1В1С1  Укажите отрезок, длина которого нравна расстоянию между прямыми АА1 и О01

БИЛЕТ № 9

А I. Дайте определение угла между прямыми в пространстве. Сформулируйте и докажите теорему о трех перпендикулярах.

2. Сформулируйте теорему о линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью.

3. Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости.

4. Сформулируйте теорему об углах с сонаправленными сторонами.

5. Сформулируйте следствия из аксиом стереометрии.

В. 1. Две прямые одной плоскости параллельны соответственно двум прямым другой плоскости. Можно ли утверждать, что плоскости параллель­ны? Ответ обоснуйте.

2. Прямые а и b параллельны. Какое положе­ние может занимать прямая а относительно пло­скости, проходящей через прямую b?

3. В треугольной пирамиде АВСД ребро АВ пер­пендикулярно основанию Д отрезок, длина которого равна расстоянию между прямыми АВ и СД.

БИЛЕТ № 10

А. 1. Дайте определение параллельных плоско­стей. Сформулируйте и докажите признак парал­лельности двух плоскостей.

2. Сформулируйте теорему об отрезках пря­мых, заключенных между параллельными плос­костями.

3. Расскажите, как найти угол между скрещива­ющимися прямыми.

4. Дайте определение прямой, перпендикулярной плоскости.

5. Сформулируйте аксиомы стереометрии.

В. I. Верно ли, что если две прямые в простран­стве перпендикулярны к третьей прямой, то эти прямые параллельны?

2. Верно ли утверждение о том, что прямая в пространстве, пересекающая одну из параллельных прямых, пересекает и вторую прямую?

3. В наклонном параллелепипеде АВСДА1В1С1 ребро АА1 образует равные углы с ребрами АВ и АД, а основание является ромбом. Укажите от­резок, длина которого равна расстоянию между плоскостями оснований.

Билет № 5

А 1. Дайте определение параллельных плоско­стей. Сформулируйте и докажите теорему о линии пересечения двух параллельных плоскостей треть­ей плоскостью.

2. Сформулируйте признак перпендикулярности плоскостей.

3. Сформулируйте теорему о трех перпендикуля­рах.

4. Дайте определение скрещивающихся прямых.

5. Что такое стереометрия? Назовите основные фигуры стереометрии.

В. 1. Прямые т и d пересекаются в точке С, причем прямая т лежит в плоскости б, прямая d лежит в плоскости в и плоскости б и в не совпадают. Что можно сказать о линии пересече­ния этих плоскостей?

2. Верно ли в пространстве утверждение о том, что прямая, пересекающая одну из двух параллель­ных прямых, пересекает и вторую прямую?

3. Дан прямоугольный параллелепипед АВСДА1В1С1 . Укажите отрезок, длина которого равна рассто­янию между прямыми АС и В1D1

БИЛЕТ N 6

A.1. Дайте определение параллельных прямых в пространстве. Сформулируйте и докажите теорему об отрезках параллельных прямых, заключенных между двумя параллельными плоскостями.

2. Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости.

3. Сформулируйте признак скрещивающихся прямых.

4. Дайте определение угла между прямой и пло­скостью.

5. Что такое стереометрия? Назовите основные фигуры стереометрии.

B. 1. Даны две пересекающиеся плоскости. Су­ществует ли плоскость, пересекающая их по парал­лельным прямым? Если «Да», то приведите пример.

2. Что можно сказать о взаимном расположении двух плоскостей, имеющих три общие точки, не лежащие на одной прямой?

3. В тетраэдре АВСД все ребра равны. Укажите отрезок, длина кото­рого равна расстоянию между прямыми  ДА и ВС.

БИЛЕТ № 7

А 1. Дайте определение прямой, перпендикуляр­ной плоскости.

Сформулируйте и докажите теорему о двух прямых, перпендикулярных одной плоскости.

2. Сформулируйте признак параллельности пря­мой и плоскости.

3. Сформулируйте аксиомы стереометрии.

4. Дайте определение угла между плоскостями.

5. Сформулируйте признак скрещивающихся прямых.

В 1. Даны две скрещивающиеся прямые m и п. На прямой m отмечены точки D и D1, на прямой п отмечены точки N и . Как будут расположе­ны  прямые ND и D1  ?

3. Плоскости б и в параллельны, в плоскости б лежит прямая а, а в плоскости в лежит прямая b. Каковы возможные случаи взаимного располо­жения прямых а и b.

4. В наклонном параллелепипеде АВСДА1В1С1укажите отрезок, длина которого равна рассто­янию между прямыми A1D1 и ВС.

БИЛЕТ № 8

A 1.Сформулируйте и докажите лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых третьей

2. Что такое тетраэдр, параллелепипед. Назовите все их элементы.

3. Сформулируйте следствия из аксиом стерео­метрии.

4. Дайте определение прямой, параллельной пло­скости.

5. Сформулируйте признак скрещивающихся прямых.

B 1. Прямые a и с параллельны, прямые а и b пересекаются. Могут ли прямые b и с быть параллельны?

2. Одна из двух параллельных прямых параллель­на некоторой плоскости. Верно ли утверждение, что и другая прямая параллельна этой плоскости?

3. В тетраэдре  АВСD все ребра рав­ны. Укажите отрезок, длина которого равна расстоянию между прямыми AD и СВ.