Исследовательская работа Магические фигуры

Государственное бюджетное образовательное учреждение

«ШКОЛА № 000» города Москвы

Исследовательская работа

МАГИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ

Автор: Леншин Вадим,

учащийся 5"Л" класса

Руководитель: ,

учитель математики.

Москва

2015

Содержание

Введение....................................................................................................2
1. Магические фигуры..............................................................................3
1.1 Магический квадрат...................................................................3
1.2 История магического квадрата..................................................4
1.3 Нетрадиционные квадраты........................................................5
1.4 Квадраты с дополнительными свойствами..............................6

  1.5 Магические окружности............................................................7

  1.6 Магические звёзды.....................................................................8
2. Способы построения магических квадратов.....................................9
2.1 Построение идеального магического квадрата нечётного

  порядка..............................................................................................9

  2.2. Метод террас............................................................................11
2.3. Построение магического квадрата с "помощью ромба".....12

3. Применение магических фигур (МФ)...............................................13

Заключение..............................................................................................17
Список литературы.................................................................................17

Введение.

Сегодня трудно себе представить, как бы мы жили, не зная чисел.

В своем развитии разные направления математики весьма тесно взаимосвязаны. Так, арифметика неразрывно переплеталась с геометрией.

Поэтому числа, определенным образом соотносящиеся с геометрическими фигурами, стали называть фигурными.

Сегодня в математике фигурные числа – общее название чисел, связанных с той или иной геометрической фигурой.

Тема магических фигур объединяет в себе арифметику и геометрию. Она фактически не имеет практического применения, но зато очень увлекательна и познавательна.

Цель данной работы состоит в изучении, построении и использовании магических и полумагических фигур.

Основными задачами являются: ознакомиться с понятиями магических фигур, магического квадрата, принципом его построения, узнать историю появления магического квадрата ознакомиться с понятиями магической окружности и магической звезды.

Каким образом можно построить магическую фигуру? Мы рассмотрим несколько способов построения магического квадрата, используя понятие магической константы.

И, наконец, где и для чего используются магические фигуры? Об этом тоже можно будет узнать из этой работы.

Магические фигуры

Цифровую фигуру обычно называют магической, если составляющие ее числа не повторяются и при определенных взаимных сочетаниях дают заранее задуманный составителем результат.

Чаще всего рассматривается сумма вершин, сторон (линий), дуг окружностей и т. п.

К магическим фигурам относят нагруженные числовыми комбинациями звезды, квадраты,  круги и др.

Числа в магических фигурах выстраивают удивительную мозаику состояний, моделирующих многообразие мира цифровым орнаментом [1].

1. Магический квадрат

Магический, или волшебный квадрат — это квадратная таблица, заполненная числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях одинакова. Если в квадрате равны суммы чисел только в строках и столбцах, то он называется полумагическим.

Нормальным называется магический квадрат, заполненный натуральными числами от 1 до nЧn.

Магический квадрат называется ассоциативным или симметричным, если сумма любых двух чисел, расположенных симметрично относительно центра квадрата, равна nЧn+1 [2].

Нормальные магические квадраты существуют для всех порядков n, (где n-натуральное число), за исключением n=2. Хотя случай, где n=1 тривиален — квадрат состоит из одного числа. Минимальный нетривиальный случай показан ниже, он имеет порядок 3.

8	3	4
1	5	9
6	7	2

Сумма чисел в каждой строке, столбце и на диагоналях называется магической константой, M. Магическая константа нормального волшебного квадрата зависит только от n и определяется формулой : M(n)=n(nЧn+1)/ 2.

Первые значения магических констант приведены в следующей таблице:

Порядок n	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
M (n)	15	34	65	111	175	260	369	505	671	870	1105

История  магического  квадрата

Квадрат Ло Шу

Единственный нормальный магический квадрат 3Ч3. Был известен ещё в Древнем Китае, первое изображение на черепаховом панцире датируется 2200г. до н. э..

4	9	2
3	5	7
8	1	6

Квадрат, найденный в Кхаджурахо (Индия)

Самый ранний пандиагональный уникальный магический квадрат обнаружен в надписи XI века в индийском городе Кхаджурахо:

7	12	1	14
2	13	8	11
16	3	10	5
9	6	15	4

Магический квадрат Ян Хуэя (Китай)

В 13 в. математик Ян Хуэй занялся проблемой методов построения магических квадратов. Его исследования были потом продолжены другими китайскими математиками. Ян Хуэй рассматривал магические квадраты не только третьего, но и больших порядков. Некоторые из его квадратов были достаточно сложны, однако он всегда давал правила для их построения. Он сумел построить магический квадрат шестого порядка, причем последний оказался почти ассоциативным (в нем только две пары центрально противолежащих чисел не дают сумму 37):

27	29	2	4	13	36
9	11	20	22	31	18
32	25	7	3	21	23
14	16	34	30	12	5
28	6	15	17	26	19
1	24	33	35	8	10

Нетрадиционные квадраты

3	61	19	37
43	31	5	41
7	11	73	29
67	17	23	13

Если в квадратную матрицу n Ч n заносится не строго натуральный ряд чисел, то данный магический квадрат — нетрадиционный. Ниже представлены два таких магических квадрата, заполненные простыми числами (хотя 1 в современной теории чисел не считается простым числом). Первый имеет порядок n=3 (квадрат Дьюдени); второй (размером 4x4) — квадрат Джонсона. Оба они были разработаны в начале двадцатого века:

67	1	43
13	37	61
31	73	7

1	823	821	809	811	797	19	29	313	31	23	37
89	83	211	79	641	631	619	709	617	53	43	739
97	227	103	107	193	557	719	727	607	139	757	281
223	653	499	197	109	113	563	479	173	761	587	157
367	379	521	383	241	467	257	263	269	167	601	599
349	359	353	647	389	331	317	311	409	307	293	449
503	523	233	337	547	397	421	17	401	271	431	433
229	491	373	487	461	251	443	463	137	439	457	283
509	199	73	541	347	191	181	569	577	571	163	593
661	101	643	239	691	701	127	131	179	613	277	151
659	673	677	683	71	67	61	47	59	743	733	41
27	3	7	5	13	11	787	769	773	419	149	751

Предыдущий квадрат, построенный в 1913 г. Дж. Н. Манси, примечателен тем, что он составлен из 143 последовательных простых чисел за исключением двух моментов: привлечена единица, которая не является простым числом, и не использовано число 2.

Квадраты с дополнительными свойствами

Дьявольский магический квадрат

Дьявольский или пандиагональный квадрат — магический квадрат, в котором также с магической константой совпадают суммы чисел по ломаным диагоналям в обоих направлениях.

Пандиагональных квадратов пятого порядка 3600. Один из них показан ниже.

1        15        24        8        17  1  15  24  8  17                         

9        18         2        11        25  9  18  2  11  25

12        21        10        19         3  12  21  10  19  3

20        4        13        22         6  20  4  13  22  6

23        7        16        5        14  23  7  16  5  14

На рис.: два одинаковых квадрата с разломанными диагоналями пандиагонального квадрата.

21	32	70	26	28	69	22	36	65
40	81	2	39	77	7	44	73	6
62	10	51	58	18	47	57	14	52
66	23	34	71	19	33	67	27	29
4	45	74	3	41	79	8	37	78
53	55	15	49	63	11	48	59	16
30	68	25	35	64	24	31	72	20
76	9	38	75	5	43	80	1	42
17	46	60	13	54	56	12	50	61

Если пандиагональный квадрат еще и ассоциативный, то он носит название идеальный. Пример идеального магического квадрата (смотри рис. выше).

Магические окружности

На примере одного из магических кругов рассмотрим принцип их построения.

Можно выделить систему концентрических магических 3 кругов с 12 числами = 36 числами и общей суммой 666[3].

Здесь у нас уже два способа образования магической константы:

Первый формируется по числам, расположенным на шести больших диаметрах:

Sa = 111.

Второй составляют суммы чисел,

находящихся на каждой из трех окружностей: Sb = 222.

Если умножить Sa на 6, а Sb на 3, то получится число 666, это и есть сумма всех чисел магической окружности.

В отличие от рассмотренного концентрического расположения окружностей возможен также вариант с их взаимным наложением.

1.6. Магические звёзды

Звезда с m углами называется магической традиционной, если натуральные числа 1 - 2m размещены в ней так, что сумма четырех чисел на каждой линии одинакова [4,5].

Каждое из 2m чисел находится одновременно на двух линиях, поэтому магическая константа равна удвоенной сумме всех чисел 2∑2m=2m(2m+1), деленной на m, то есть Sm = 2(2m + 1) =4m+2. 

Магическая постоянная S6 = 2(2·6 + 1) = 26.

Здесь выполняются также дополнительные специальные  "круговые условия":

  1 + 3 + 10 + 6 + 2 + 4 = (7 + 8 + 9 + 5 + 11 + 12) / 2 = 26.

  1

4  12  7  3  сумма всех чисел звезды

  11  78  8

2  5  9  10

  6

Доказано [4], что 5-угольная звезда не может быть магической. То есть из первых 10 чисел нельзя выстроить 5 линий по 4 числа, сумма которых равна 22.

При m > 5 формирование магических звезд уже возможно.

Способы построения магических квадратов

Существует большое количество способов построения магических квадратов. Вот один из таких способов:

2.1. Построение идеального магического квадрата нечётного порядка

       Чтобы построить идеальный магический квадрат с использованием хода буквой г (n не должно быть кратным 3), достаточно выдержать следующие пять условий:

1. При выходе за пределы поля (на Рис. 1 – за пределы центрального квадрата) перенос чисел осуществляется в соответствии с упомянутым рисунком. В процессе многих построений появляется определенный навык, и расстановка чисел идет без затруднений.

Рис. 1. Центральный магический квадрат в окружении вспомогательных восьми квадратов.

2
1

2. Число 1 устанавливается по правую сторону от центральной ячейки.

Рис. 2. Первый ход конем.

3. Число 2 ставится так, как показано на Рис. 2

4. Далее именно в таком направлении проставляется натуральный ряд чисел вплоть до nЧn.

5. Если конечная точка какого-либо хода занята другим числом, то вместо хода конем осуществляется переход по горизонтали вправо через одну ячейку (см. Рис. 3)

	33
A		A+1

Рис. 3. Ход конем заменяется на перемещение вправо через ячейку

Пользуясь этими правилами, построим идеальный магический квадрат (желтым цветом обозначены нечетные числа):

20	8	21	14	2
11	4	17	10	23
7	25	13	1	19
3	16	9	22	15
24	12	5	18	6

Рис. 4.  Идеальный магический квадрат 5 x 5

Метод террас

Для заданного нечетного n начертим квадратную таблицу размером nxn. Пристроим к этой таблице со всех четырех сторон террасы (пирамидки). В результате получим ступенчатую симметричную фигуру[2].

5 4 10 3 9 15 2 8 14 20 1 7 13 19 25 6 12 18 24 11 17 23 16 22 21 .

Начиная с левой вершины ступенчатой фигуры, заполним ее диагональные ряды последовательными натуральными числами от 1 до nЧn.

После этого для получения таблицы n-го порядка числа, находящиеся в террасах, поставим на те места таблицы размером nЧn, в которых они оказались бы, если перемещать их вместе с террасами до того момента, пока основания террас не примкнут к противоположной стороне таблицы.

3 16 9 22 15 20 8 21 14 2 7 25 13 1 19 24 12 5 18 6 11 4 17 10 23 .

Существует ещё один красивый и простой способ построения магического квадрата: Построение МК с "помощью ромба"

Построение можно выполнить следующим образом. Берётся таблица размером nЧn. Внутри неё строится ступенчатый ромб. В нём ячейки слева вверх по диагоналям заполняются последовательным рядом нечётных чисел. Определяется значение центральной ячейки C. Тогда в углах магического квадрата значения будут такими: верхняя правая ячейка C-1 ; нижняя левая ячейка C+1 ; нижняя правая ячейка C-n; верхняя левая ячейка C+n. Заполнение пустых ячеек в ступенчатых угловых треугольниках ведётся с соблюдением простых правил: 1)по строкам числа слева направо увеличиваются с шагом n + 1; 2) по столбцам сверху вниз числа увеличиваются с шагом n-1. Вот результат:

18	24	5	6	12
22	3	9	15	16
1	7	13	19	25
10	11	17	23	4
14	20	21	2	8

Применение магических фигур (МФ)

МФ не имеют большого практического значения. Но их часто используют как головоломки и математические задачи. Задачи могут быть простыми и сложными. Вот пример простой задачи: 

1. Впишите в клетки цифры от 1 до 9 так, чтобы в обоих рядах сумма чисел была равна.

Решим эту головоломку. Сумма всех цифр равна 45. Чтобы узнать сумму цифр на одной линии надо:

  (45-x):2, где х

Из этого следует, что х - нечётное число. У этой задачи много решений.

2.

Задача Эйнштейна. Девять кружков образуют вершины четырёх малых и трёх больших равнобедренных треугольников. Требуется вписать в эти кружки числа от 1 до 9 так, чтобы суммы чисел, стоящих в вершинах каждого из семи равнобедренных треугольников, были равны. (У больших треугольников считаются только 3 кружка в его вершинах.)

Решаем: сумма всех цифр равна 45, значит сумма цифр в каждом треугольнике равна 15.

  9  2

  1  5  6  7 

  4

  8  3

  3.

Расставьте в окружностях цифры от 1 до 7 так, чтобы их сумма на каждой окружности и на каждой прямой равнялась 12.

В центр ставим 4.

4. В кружочках фигуры расставьте цифры от 1 до 7 так, чтобы сумма четырёх чисел в вершинах каждого ромба составляла 17.

Для решения используем то, что 17- нечётное число, значит в сумму четырёх слагаемых входит 3 или 1 нечётное, в нашем случае - 3. Следовательно, ставим нечётные числа в отмеченные кружки. В

центре - число 7.

5. По углам каждого из девяти маленьких ромбов в кружочках нужно разместить числа от 1 до 16 так, чтобы каждые 4 числа одновременно давали в сумме 34. Три суммы четвёрок чисел: по центральной горизонтали, по центральной вертикали и по углам большого ромба также должны равняться 34.

Для решения удобно ромб "превратить" в квадрат.

1	2	3	4
5	6	7	8
9	10	11	12
13	14	15	16

Тогда задание изменяется: сумма в каждом квадрате 2х2, по углам и по диагоналям равна 34. Заполним квадрат. Замечаем, что в центре, по углам и диагоналям - искомая сумма. Остальные числа передвигаем на две клетки по диагонали.

Получаем:

1	12	9	4
15	6	7	14
3	10	11	2
13	8	5	16

Замечаем такое свойство: если "свернуть" таблицу в трубочку вертикально или горизонтально, то сумма в полученных новых квадратах равна 34.

15+3+14+2=12+9+8+5=1+12+13+8=9+4+5+16=34

6. По углам каждого из четырёх ромбов расставьте цифры от 1 до 9 так,

чтобы сумма их в каждом ромбе равнялась 17.

6	1	9
8	2	5
4	3	7

Решение: "превратим" ромб в квадрат. Расположение нечётных чисел:

н	н
	н
н	н
7. Расположите в кружках первые 11 натуральных чисел так, чтобы сумма четырёх чисел в вершинах каждого из пяти секторов-лучей звезды равнялась 25.

8. А теперь рассмотрим ситуацию, когда вы хотите сами создать головоломку. Например, вы составили магический квадрат:

4	9	2
3	5	7
8	1	6

В зависимости от того насколько вы хотите сделать сложной задачу, вы убираете "лишние" цифры.

4	2
6

При желании усложнить задачу, мы можем оставить всего две цифры. При решении надо будет перебрать больше вариантов, но решением всё же будет искомый квадрат.

Аналогично можно составить задачи с более большими квадратами 4х4, 5х5 и т. д.

Заключение

Выполняя эту работу, я познакомился с интересным разделом математики. Тема магических фигур неразрывно связана с геометрией и алгеброй. Т. к. головоломки с магическими квадратами я решал ещё в дошкольное время, это понятие не было для меня сюрпризом. Тем не менее, занимаясь исследованием, я узнал много нового и понял, что "магия" этих фигур до конца не исчерпана. Так что исследование можно ещё продолжить.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.

trinities'.ru Википедия. Harvey D. Heinz. Magic Stars.–2009 http://recmath.org Trenkler M. Magic stars. The PME Journal (USA) 2004, 549–554. http://math.ku.sk/~trenkler/MagicStars. doc. Magicstar/ From Wikipedia, the free encyclopedia. http://en.wikipedia.org/wiki/Magic star. http://mmmf. msu. ru