Коллекция олимпиадных задач по теме

«Делимость натуральных чисел» с решениями

В магическом квадрате суммы чисел в каждой строке, в каждом столбце и на обеих диагоналях равны. Можно ли составить магический квадрат 5Ч5 из первых 25 простых чисел?

Ответ. Нельзя.

Решение. Сначала заметим, что среди всех простых чисел только одно чётное — это число 2. Действительно, любое другое чётное натуральное число делится, кроме единицы и самого себя, ещё и на 2, и потому не является простым.

Теперь предположим, что магический квадрат удалось составить из первых 25 простых чисел. Среди них есть двойка, а остальные 24 числа — нечётные. В той строке, где окажется двойка, сумма всех чисел будет чётной, ведь там одно чётное число и четыре нечётных. Во всех остальных строках все числа будут нечётными, а сумма пяти нечётных слагаемых также нечётна. Поэтому сумма чисел во всех строках не может оказаться одинаковой. Полученное противоречие доказывает, что магический квадрат невозможно составить из первых 25 простых чисел.

Делится ли число (111999 − 1) на 2? А на 10?

  Ответ. Да, делится и на 2, и на 10.

Решение.  Сначала заметим, что последняя цифра произведения нескольких чисел равна последней цифре произведения их последних цифр (это следует, например, из правила умножения в столбик). Теперь найдём последнюю цифру числа 111999. Так как это произведение 999 сомножителей, каждый из которых равен 111 (и имеет последнюю цифру 1), его последняя цифра равна последней цифре произведения 999 единиц, то есть тоже 1. А если от этого числа отнять единицу, то у разности последняя цифра будет 0. Значит, это число делится на 10 (а заодно и на 2).

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Замечание. Ответ на первый вопрос задачи можно было получить проще. Число 111 нечётное, поэтому при возведении в степень (то есть при умножении само на себя несколько раз) тоже будет давать нечётное число. Число 1 также нечётно. А разность двух нечётных чисел чётна, то есть делится на 2.

Найдите последнюю цифру числа  а)3100;  б)20112012 +20122013.

Ответ. а) 1;  б) 3.

Решение. а) Начнём последовательно выписывать последние цифры степеней тройки. Для нахождения последней цифры очередной степени тройки достаточно брать последнюю цифру предыдущей степени, умножать её на 3 и брать последнюю цифру результата. Получим следующую цепочку: 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1... (проверьте!). Видно, что на каждом четвёртом месте в этой последовательности стоит единица. Поскольку 100 делится на 4, на сотом месте тоже будет стоять единица. То есть последняя цифра числа 3100 равна 1.

б ) Последняя цифра числа 20112012 равна 1 (вспомните, например, решение задачи 6). Найдём последнюю цифру числа 20122013. Как мы уже отмечали при решении задачи 6, последняя цифра произведения нескольких чисел равна последней цифре произведения их последних цифр. Поэтому последняя цифра этого числа совпадает с последней цифрой числа 22013. А она равна 2 (получите это самостоятельно по аналогии с пунктом а). Теперь ясно, что последняя цифра числа 20112012 + 20122013 равна сумме последних цифр каждого из слагаемых, то есть 1 + 2 = 3.

Допишите к числу 523... три цифры так, чтобы полученное шестизначное число делилось на 7, 8 и 9. Сколько всего таких чисел существует?

Ответ. Таких чисел два: 523152 и 523656.

Решение. Чтобы число одновременно делилось на 7, 8 и 9, необходимо, чтобы оно делилось на НОК(7, 8, 9) = 504 (вспомните задачу 3). Теперь выясним, какие из шестизначных чисел вида 523... делятся на 504. Сначала поделим 523000 на 504 с остатком: 523000 = 504 · 1037 + 352. Чтобы получить ближайшее к 523000 число, делящееся на 504, нужно взять число 504 · 1038 = 523152. Это одно из интересующих нас чисел. Следующее за ним число, делящееся на 504, равно 523152 + 504 = 523656. Следующее число, кратное 504, уже будет больше 524000. Таким образом, мы нашли все интересующие нас числа.

В магазине было 6 ящиков яблок, массы которых равны соответственно 15, 16, 18, 19, 20 и 31 кг. Две фирмы приобрели 5 ящиков, причем одна из них взяла в два раза больше яблок (по массе), чем другая. Какой ящик остался в магазине?

Ответ. Ящик массой 20 кг.

Решение. Поскольку одна фирма купила вдвое больше яблок, чем другая, общая масса купленных яблок должна делиться на 3 (тогда две трети купит первая компания и ещё треть — вторая). Общая масса всех яблок в магазине равна 15 + 16 + 18 + 19 + 20 + 31 = 119 кг. Осталось определить, какое из чисел 15, 16, 18, 19, 20 и 31 нужно отнять от 119, чтобы получилось число, кратное трём. Нетрудно убедиться, что это может быть только число 20.

Вершины тысячеугольника занумерованы по порядку от 1 до 1000. Сан Саныч отмечает каждую пятнадцатую вершину, начиная с первой (то есть вершины с номерами 1, 16, 31, 46 и т. д.). Так он делает до тех пор, пока не дойдёт до уже отмеченной вершины. Сколько вершин тысячеугольника останутся неотмеченными?

Ответ. 800.

Решение. Будем выписывать номера отмеченных вершин. Первые несколько из них делятся на 15 с остатком 1: это 1, 16, 31, ..., 991. Дальше будет 6 и другие номера, делящиеся на 15 с остатком 6: 21, 36, ..., 996. Дальше будет 11 и другие номера, делящиеся на 15 с остатком 11: 26, 41, ..., 986. А потом — снова 1, и больше никакие вершины отмечены не будут. Если аккуратно посчитать (проделайте это!), отмеченных вершин получится 200 штук, а неотмеченных — 800.

Если в выражение n2 + n + 41 подставлять n = 1, 2, 3, 4, 5, получатся простые числа 43, 47, 53, 61, 71. Верно ли, что при подстановке в это выражение любого натурального числа n получится простое число?

Ответ. Неверно.

Решение. Если подставить в это выражение n = 41, получим сумму 412 + 41 + 41. Каждое слагаемое в этой сумме делится на 41, поэтому и вся сумма делится на 41. Кроме того, эта сумма, очевидно, не равна 41. А значит, она не является простым числом.

Решите уравнение:  x +3C(x)=2007, где С(х) –сумма цифр числа х.

Ответ: х = 1953.

Решение.. Пусть , где k - целое число. Тогда сумма цифр имеет тот же остаток при делении на 9, т. е. С(х)=, где целое число. Получим:

Так как 2007 делится на 9, то и 4r должно делится на 9. Т. е. r  должно делиться на 9. Но это значит, что х и С(х) делятся на 9.

, в нём не более 4 цифр, и если 4 цифры, то первая меньше 3. остальные цифры не больше 9. Таким образом, Получаем 3 варианта:

тогда . Не подходит.

тогда Подходит.

тогда Не подходит. Таким образом, уравнение имеет единственное решение х = 1953.

Докажите, что произведение любых трёх последовательных чисел делится на 6.

Среди трёх последовательных чисел есть как минимум одно чётное и одно, делящееся на 3. Значит, их произведение разделится на 6.

Каково наименьшее натуральное N        такое, что N! делится на 770?

=1(факториал)

770=, значит, N! делится на 11.наименьшее выражение, содержащее множитель 11, будет 11!, в это произведение будут входить и 7, и 10.

  Может ли N! оканчиваться на 5 нулей?

Произведения с 20! по 24! оканчиваются на 4 нуля, т. к. в произведении содержится 4 множителя 5: в числах 5,10,15,20. А 25! содержит сразу 2 множителя 5 в составе числа 25=52.Значит, 25!  оканчивается на 6 нулей, тогда на 5 нулей N! оканчиваться не может.

13.  Запись шестизначного числа в десятичной системе исчисления такова, что одинаковы первая и четвёртая цифры, вторая и пятая, третья и шестая. Делится ли это число:

  а) на 7;  б) на 11;  в) на 13?

Пусть первая и четвёртая цифры числа А, вторая и пятая –B, третья и  шестая – С.

Тогда

1001C=1001(100A+10B+C) =. Оно делится на 7,11,13.

14. В трёхзначном числе последняя цифра 3. Если её переставить в начало числа, то получившееся число будет на 1 больше, чем  утроенное первоначальное. Найдите начальное число.

Если в начальном числе цифра сотен А, цифра десятков В, то 300+10A+B=3(100A+10B+3)+1.Тогда 10A+B=10, 10(1-A)=B.  A  и B – цифры, значит, B делится на 10. Это может быть только при  B=0. Тогда А = 1. Начальное число 103.

15. Найти все пятизначные числа , делящиеся на 36 и такие, что .

Ответ: 12348 и 12456

Решение: Так как , то каждое из искомых чисел делится на 4 и на 9.

По признаку делимости на 4 двузначное число кратно 4, а ввиду очевидных неравенств оно может быть равно только 48,56 или 68. Разберём эти три случая:

Если = 48, то (других возможностей нет), а число 12348 удовлетворяет условиям задачи. Если = 56, то по признаку делимости на 9 и с учетом неравенств имеем: . Равенство  = 68 для искомого числа выполняться не может, так как соотношения

  показывают, что сумма не может быть кратна 9.

16. Три брата родились в один и тот же день, но в разные года. Когда старшему из них исполнилось 13 лет, то сумма возрастов всех трех братьев нацело разделилась на 13. Докажите, что когда среднему из братьев исполнится 13лет, то сумма возрастов всех братьев не будет кратной 13.

Когда старшему брату исполнилось 13 лет, двум другим братьям было меньше

13 лет. Поэтому сумма их возрастов была меньше 39. Единственное делящееся на 13 число – большее 13, но меньшее 39 – это 26. Значит, когда старшему брату  исполнилось 13 лет, трем братьям вместе было 26 лет, а двум младшвместе – 13 лет. Поэтому среднему брату в этот день было не меньше 7 лет: иначе младший был бы старше среднего.

  Заметим теперь, что каждый год сумма возрастов братьев увеличивается на 3. Поэтому им никогда вместе не будет 28 лет или 42 года: 28 – 26 или 42 - 26 не  делятся на 3. Следующее же делящееся на 14 число 56 слишком велико: 56 лет братьям вместе будет через 10 лет, а 13 лет среднему брату исполнится, самое большее, через 6 лет.