УДК 378.004
НА ПОДСТУПАХ К ТОПОЛОГИИ
(г. Алматы, КазГосЖенПУ)
Геометрия, изучаемая в школе, имеет дело почти исключительно со свойствами фигур, связанными с понятиями длины, величины угла, площади и объема. Такие свойства называются метрическими. Лишь очень немногие теоремы и задачи школьного курса геометрии рассматривают свойства иного характера.
Например, рассмотрим следующую задачу. Сколько диагоналей можно провести в выпуклом десятиугольнике? Если решать эту задачу непосредственно, т. е. проведем в данном многоугольнике все возможные диагонали и попытаемся их пересчитать, то увидим, что это сделать совсем непросто. Еще труднее пересчитать число диагоналей у невыпуклого многоугольника.
Представим, что все диагонали многоугольника – эластичные нитки, прикрепленные в соответствующих вершинах. Тогда каждую диагональ можно было бы поднять в пространство, например, следующим образом: вторую диагональ поднять чуть выше чем первую; третью поднять чуть выше, чем вторую и т. д. При этом диагонали не пересекались бы и их можно без труда пересчитать. От натяжения ниток изменились бы их длины, величины некоторых углов и т. п., а число диагоналей (ниток) осталось бы тем же самым. Но для решения данной задачи такие изменения элементов фигуры значения не имеют. Т. о. мы сталкиваемся с геометрическим свойством, которое не является метрическим.
Топология как раздел геометрии в школьном курсе не представлена. Лишь отдельные задачи скрыто опираются на топологические свойства фигур (например, рассмотренная выше задача). Однако определенные связи между элементарной геометрией и топологией установить можно. Итак, рассмотрим некоторые вопросы топологии, исходя из понятий, встречающихся в школьном курсе геометрии. Более того, покажем, что стремление выявить наиболее глубокие геометрические свойства фигур необходимо приведет к идеям топологии.
Понятие геометрического преобразования является одним из основных в школьном курсе геометрии. Свойства фигур, которые сохраняются при данном преобразовании F, называются инвариантами этого преобразования. Например, свойство фигуры быть прямой является инвариантом центральной симметрией.
Рассмотрим известные в школьном курсе геометрии преобразования и их инварианты.
Центральная симметрия. Инварианты этого преобразования:а) свойство фигуры быть прямой;
б) свойство фигуры быть отрезком;
в) свойство фигуры быть окружностью;
г) свойство угла иметь данную величину;
д) свойство фигуры иметь определенную площадь;
е) свойство фигуры иметь определенную длину;
ж) свойство фигуры быть незамкнутой кривой;
з) свойство фигуры быть замкнутой кривой.
2. Гомотетия. Сравнение свойств центральной симметрии и гомотетии показывает, что рассмотренные выше свойства а), б), в), г), ж), з) являются также инвариантами гомотетии, но свойства д), е) при гомотетии не сохраняются.
Из нескольких геометрических свойств фигуры то считается более глубоким, которое оказывается более устойчивым, т. е. то, которое выдерживает большее количество преобразований, оставаясь неизменным. Отсюда следует, что свойство фигуры быть замкнутой (незамкнутой) линией является, очевидно, более глубоким, чем свойство иметь определенную длину. Т. о. возникает вопрос о том, какие из геометрических свойств данной фигуры являются наиболее глубокими. Для ответа на этот вопрос можно данную фигуру подвергнуть большому числу различных преобразований и посмотреть, какие из свойств фигуры являются инвариантами всех этих преобразований. Такие свойства и будут, очевидно, наиболее глубокими геометрическими свойствами данной фигуры.
Поступим несколько иначе. Ведь если некоторое свойство является инвариантом данного преобразования, то оно будет являться инвариантом всех преобразований, которые являются частными случаями данного. Например, преобразование центральной симметрии является частным случаем преобразования гомотетии, Нетрудно убедиться в том, что центральная симметрия-это гомотетия с коэффициентом к=-1. Поэтому все инварианты гомотетии будут являться и инвариантами центральной симметрии. Действительно, рассмотренные выше свойства а), б), в), г), ж), з) являясь инвариантами гомотетии, будут и инвариантами центральной симметрии. Обратное неверно. Так, свойства д), е) являясь инвариантами центральной симметрии, не будут инвариантами гомотетии.
Поэтому, вместо того чтобы подвергать данную фигуру большому числу различных преобразований, можно отыскать более общее преобразование, частными случаями которого являлись бы рассмотренные ранее преобразования. Инварианты этого более общего преобразования будут являться инвариантами всех рассмотренных ранее преобразований. Ответ на поставленный нами вопрос сводится, таким образом, к поиску соответствующего преобразования. Будем исходить из следующих соображений.
Рассмотренные ранее преобразования являются частными случаями искомого. Попытаемся выявить те общие условия, которым удовлетворяет каждое из рассмотренных нами конкретных преобразований, и, таким образом, подойдем к характеристике искомого преобразования. Эти условия найти нетрудно. Во-первых, оба рассмотренных преобразования являются взаимно-однозначными, во-вторых, выполняется следующее условие: если зафиксировать произвольную точку Х фигуры прообраза и соответствующую ей точку Х1 (образ точки Х при одном из известных нам преобразований) и рассмотреть переменную точку У фигуры прообраза вместе с точкой У1 – образом точки У, то при неограниченном приближении точки У к точке Х точка У1 будет неограниченно приближаться к точке Х1, и обратно, при неограниченном приближении точки У1 к точке Х1 точка У будет неограниченно приближаться к точке Х.
Преобразование, для которого выполняется такое условие, называется взаимно-непрерывным. Из сказанного выше следует, что искомым преобразованием будет, по-видимому, преобразование, являющееся взаимно-непрерывным и взаимнооднозначным. Преобразование, обладающее такими свойствами, называют топологическим.
Возникает вопрос о том, нельзя ли, идя по пути обобщения, рассмотреть еще более общие преобразования, которые являются лишь или взаимнооднозначными, или взаимно-непрерывными и т. д. Оказывается, что при преобразованиях более общих, чем топологические, не сохраняется такое фундаментальное геометрическое свойство, как размерность. Так точке приписывается размерность 0, линии – размерность 1, поверхности – размерность 2, пространству – размерность 3. При топологических преобразованиях сохраняется размерность. Например, трехмерный куб нельзя топологически отобразить на квадрат. То, что размерность является топологическим инвариантом, было впервые доказано в 1911 году.
Таким образом, топологические преобразования являются в некотором смысле наиболее общими преобразованиями, сохраняющими размерность. Инварианты топологических преобразований называются иначе топологическими свойствами фигур. Наглядным примером топологического преобразования является деформация резинового листа.
Выясним какие преобразования фигуры, сделанного из очень прочного и эластичного материала нельзя назвать топологическими. Чтобы преобразование было топологическим, необходимо, во-первых, чтобы оно была взаимно-однозначным, то есть не должно быть физического соприкосновения материала, из которого изготовлена модель фигуры, с самим собой. Во-вторых, преобразование должно быть взаимно-непрерывным, то есть не должно происходить разрывов материала, из которого сделана модель фигуры. Определенные таким образом преобразования и называют деформацией. Например, с помощью деформации окружность можно преобразовать в овал, в треугольник, в квадрат, вообще в произвольный многоугольник без самопересечений, в произвольную замкнутую кривую без самопересечений, но нельзя преобразовать, например, в «восьмерку». Далее, сферу можно деформировать в картофелину, в куб, в форму ненакачанного мяча, в произвольный выпуклый многогранник, но нельзя деформировать, например, в тор.
Топологические свойства фигур представляют величайший интерес во многих математических исследованиях. В известном смысле это самые глубокие, самые основные геометрические свойства, так как они сохраняются при самых «резких» преобразованиях. Знакомство с этими свойствами школьников наряду с основной задачей обучения математике – обеспечением прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений, предусматривает формирование устойчивого интереса к предмету, выявлению и развитию математических способностей.
Литература
1. и др. Введение в топологию – М.: Высшая школа, 1986. – 163 с.
2., Фоменко Дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Наука, 1987. – 430 с.
Түйіндеме
Мақалада мектеп оқушыларын геометрия курсында фигуралардың топологиялық қасиеттерімен таныстыру мұмкіндіктері қарастырылады.
