Занятие № 34

«Основные понятия комбинаторики (размещения, перестановки, сочетания)».

Запишите в рабочую тетрадь следующий теоретический материал.

Определение №1

  Комбинаторика – математический раздел, изучающий вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Определение №2

  Факториал - это произведение всех натуральных чисел до n включительно.

Обозначается n!=1234…n 

  0!=1

Определение №3

  Перестановками называют операции над упорядоченным рядом из n различных объектов, в процессе которых «списочный состав» ряда не изменяется, но «места» объектов в этом ряду изменяются от варианта к варианту.

Количество перестановок  - это количество новых упорядоченных множеств, составленных из данного множества с тем же количеством элементов.

Обозначается:  P=n!

Определение №4

  Размещениями из n элементов по m элементам   называют конечные упорядоченные множества, содержащие m элементов, выбранных из n элементов множества A.

Свойства размещений =n, =1,

Определение №5

  Сочетаниями называют операции над множеством на n различных объектов, в процессе которых образуют подмножества k элементов, взятых из исходного множества, так, чтобы варианты подмножеств отличались друг от друга хотя бы одним элементом. То есть количество сочетаний - это количество новых неупорядоченных множеств, составленных из данного множества  с другим количеством элементов.

Свойства сочетаний:

Определение №6

Правило комбинаторики:

Если элемент X можно выбрать n способами, а после каждого выбора элемента X элемент Y можно выбрать m способами, тогда элементы (и X и Y) можно выбрать способами, элемент (или X или Y) можно выбрать (m+n) способами.

Рассмотрите примеры решения задач:

1.Сколькими способами можно расставить 5 книг на полке?

Решение. Т. к. при расстановке учитывается только порядок, воспользуемся понятием перестановки:

2345=  120

В соревнованиях участвуют 10 человек. Сколько может быть вариантов распределения 3-х призовых мест?

Подсчитываем количество размещений

==8720


Имеются 10 пробирок с различными штаммами бактерий. Для эксперимента необходимо отобрать 4 пробирки. Сколькими способами это можно сделать?

Подсчитываем количество сочетаний :

210.