Направление подготовки бакалавриата
01.04.02 - Прикладная математика и информатика
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФГБОУ ВО «СГУ имени »
Механико-математический факультет
СОГЛАСОВАНО заведующий кафедрой д. ф.-м. н., профессор "__" ________________2016 г. | УТВЕРЖДАЮ председатель НМС факультета к. ф.-м. н. , доцент "__" ________________2016 г. |
Фонд оценочных средств
Текущего контроля и промежуточной аттестации по дисциплине
Обобщенные функции
Направление подготовки бакалавриата
01.04.02 - Прикладная математика и информатика
Профиль подготовки бакалавриата
Математическая физика и современные компьютерные технологии
Квалификация (степень) выпускника
магистр
Форма обучения
очная
Саратов, 2016
Карта компетенцийКонтролируемые компетенции (шифр компетенции) | Планируемые результаты обучения (знает, умеет, владеет, имеет навык) |
ОПК-3 способность самостоятельно приобретать с помощью информационных технологий и использовать в практической деятельности новые знания и умения, в том числе, в новых областях знаний, непосредственно не связанных со сферой деятельности, расширять и углублять свое научное мировоззрение | Знать: классификацию и свойства обобщенных функций, основные действия с обобщенными функциями |
Уметь: применять аппарат обобщенных функций к решению математических задач; свободно оперировать изученными абстрактными понятиями; самостоятельно доказывать свойства операций, введенных согласно заданным определениям | |
Владеть: математическим аппаратом обобщенных функций; навыками использования полученных математических знаний для решения теоретических и практических задач | |
ОПК-4 Способность использовать углубленные теоретические и практические знания в области прикладной математики и информатики | Знать: основные методы и алгоритмы изучаемой области математики, используемые для решения прикладных задач |
Уметь: использовать полученные теоретические и практические знания для решения задач математической физики | |
Владеть: методами классификации уравнений, содержащих обобщённые функции и основными методами их решения, навыками самостоятельного доказательства математических утверждений |
Показатели оценивания планируемых результатов обучения
Семестр | Шкала оценивания | |||
2 | 3 | 4 | 5 | |
3 семестр | Студент не знаком с основными математическими моделями, описывающими физические, химические, биологические, социальные, экономические процессы, приводящие к дифференциальным уравнениям, содержащим обобщённые функции. Не понимает принципов, приводящих к введению понятия обобщённая функция. Не знаком с постановками задач математической физики и основами теории обобщённых функций. Не умеет решать основные типы задач для дифференциальных уравнений: задачи Коши и краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных с применением теории обобщённых функций. Не умеет анализировать найденные решения. | Студент поверхностно знаком с основными математическими моделями, описывающими физические, химические, биологические, социальные, экономические процессы, приводящие к дифференциальным уравнениям, содержащим обобщённые функции. Понимает принципы, приводящие к введению понятия обобщённая функция. Знаком с постановками задач математической физики и основами теории обобщённых функций. Слабо умеет решать основные типы задач для дифференциальных уравнений: задачи Коши и краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных с применением теории обобщённых функций. Не умеет анализировать найденные решения. | Студент хорошо знаком с основными математическими моделями, описывающими физические, химические, биологические, социальные, экономические процессы, приводящие к дифференциальным уравнениям, содержащим обобщённые функции. Понимает принципы, приводящие к введению понятия обобщённая функция.. Знаком с постановками задач математической физики и основами теории обобщённых функций. Хорошо умеет решать основные типы задач для дифференциальных уравнений: задачи Коши и краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных с применением теории обобщённых функций. Слабо умеет анализировать найденные решения. | Студент хорошо знаком с основными математическими моделями, описывающими физические, химические, биологические, социальные, экономические процессы, приводящие к дифференциальным уравнениям, содержащим обобщённые функции. Глубоко понимает принципы построения этих моделей. Знаком с постановками задач математической физики и основами теории обобщённых функций. Хорошо умеет решать основные типы задач для дифференциальных уравнений: задачи Коши и краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных с применением теории обобщённых функций. Хорошо умеет анализировать найденные решения. Может самостоятельно ставить задачи и строить математические модели. |
Оценочные средства
2.1 Задания для текущего контроля
Контрольные работы
Примеры типовых заданий
Контрольная работа 1
1.Докажите, что ʃf(x)ц(x)dx, где f локально интегрируемая функция, линейный непрерывный функционал в D.
2.Вычислите производную функции ln|x|.
Контрольная работа 2
1. Докажите равенство д(m)(x-a)*f(x)=f(m)(x-a).
2. Вычислите преобразование Фурье функции д(m)(x).
Методические рекомендации. На решение каждой контрольной работы отводится 2 академических часа. Во время выполнения заданий контрольной работы студентам разрешается пользоваться личными записями, литературой в бумажной и электронном виде, не разрешается общаться друг с другом, в том числе при помощи мобильных телефонов и других электронных устройств. По окончании контрольной работы решения сдаются на проверку в письменном виде. Студенты, по тем или иным причинам не участвовавшие в контрольной работе, могут написать ее на экзамене или пересдаче, но не более одного раза.
Критерии оценивания. За каждую из двух контрольных работ ставится от 0 до 10 баллов в зависимости от процента правильно выполненных заданий (в том числе оцениваются частичные решения):
- менее 25% – 0 баллов; от 25% до 50% – 4 баллов; от 51% до 75% – 6 баллов; от 76% до 100% – 10 баллов.
Задания для практических занятий и самостоятельной работы
Определите обобщенную функцию, описывающую плотность материальной точки, расположенной в т. x0 и имеющей массу m. Докажите, что множество основных функций D является линейным пространством. Докажите, что операции линейной замены и умножения на функцию непрерывны из D в D. Покажите, что дельта образные функции принадлежат пространству основных функций D. Докажите, что множество обобщенных функций D’ является линейным пространством. Найдите носитель функции Дирака. Докажите, что дельта-функция Дирака является пределом дельта образных функций в смысле обобщенных функций. Рассмотреть конкретную реализацию дельта образной последовательности. Найдите обобщенные производные функции Хевисайда, дельта-функции Дирака. Докажите линейность и непрерывность прямого произведения обобщенных функций, а также его коммутативность и ассоциативность. Докажите линейность свертки по каждому из ее аргументов и ее коммутативность. Выведите формулу для сдвига свертки. Докажите непрерывность свертки по каждому из аргументов при условиях первой теоремы о существовании свертки (одна из функций финитна). Докажите вторую теорему о существовании свертки. Вычислите производную порядка 3/2 от функции Хевисайда. Вычислите первообразную порядка 3/2 от функции Хевисайда. Докажите, что из сходимости последовательности функций в D следует сходимость в P. Докажите, что операции дифференцирования и неособой линейной замены непрерывны из P в P. Приведите три примера обобщенных функций медленного роста. Докажите, что преобразование Фурье линейная и непрерывная операция из P’ в P’.Расширенный перечень заданий для самостоятельной работы можно найти в онлайн-курсе на course. sgu. ru.
Методические рекомендации. Вопросы из перечня выдаются студентам в качестве домашнего задания. Студенты должны разобрать заданный вопрос пользуясь основной и дополнительной литературой к курсу, а также ресурсами сети Интернет. На занятиях происходит разбор заданных вопросов у доски. Цели решаемых задач:
- разобрать изучаемые в теории методы на конкретных примерах с целью лучшего понимания теории; развить навыки использования аналитических и численных методов для решения прикладных задач; научить студентов применять знания математического анализа, линейной алгебры и других базовых математических курсов для решения прикладных задач с ипользованием обобщённых функций; оценить степень освоения студентами материала курса и их способность к самостоятельной работе; подготовка к контрольной работе.
Критерии оценивания. Выполнение студентом практических заданий в течение семестра оценивается от 0 до 35 баллов в зависимости от процента выполненных заданий.
Критерии оценки:
- менее 25% – 0 баллов; от 25% до 50% – 15 баллов; от 51% до 75% – 25 баллов; от 76% до 100% – 35 баллов.
Выполнение студентом домашних заданий оценивается отдельно в графе «Самостоятельная работа». Студент получает от 0 до 20 баллов в зависимости от количества правильно выполненных им заданий.
- менее 25% – 0 баллов; от 25% до 50% – 4 баллов; от 51% до 75% – 6 баллов;
от 76% до 100% – 10 баллов
Промежуточная аттестация
Методические указания. Промежуточная аттестация по дисциплине «Обобщённые функции» проводится в виде теоретического зачета. Подготовка студента к прохождению промежуточной аттестации осуществляется в период лекционных и практических занятий, а также во внеаудиторные часы в рамках самостоятельной работы. Во время самостоятельной подготовки студент пользуется основной и дополнительной литературой по дисциплине (см. перечень литературы в рабочей программе дисциплины).
Критерии оценивания. Во время зачета студент должен дать развернутый ответ на вопрос билета. Преподаватель вправе задавать дополнительные вопросы по всему изучаемому курсу. Во время ответа студент должен продемонстрировать знание основных понятий, утверждений и методов, относящихся к вопросу, а также привести подробное доказательство не менее чем одной теоремы или леммы из билета. Студент должен продемонстрировать высокий уровень понимания приведенного доказательства, при необходимости пояснить отдельные моменты, опираясь на знание курса и базовые математические знания. На оценку «хорошо» студент должен привести все утверждения из билета с доказательством, на оценку «отлично» студент должен продемонстрировать способность решать теоретические задачи и анализировать случаи, не рассматривавшиеся непосредственно в рамках курса.
При определении разброса баллов при аттестации преподаватель может воспользоваться следующим примером ранжирования:
21-35 баллов – ответ на «отлично»
11-20 баллов – ответ на «хорошо»
6-10 баллов – ответ на «удовлетворительно»
0-5 баллов – неудовлетворительный ответ.
Список вопросов к зачету
Пространство финитных основных функций. Дельта-образные функции и последовательности. Пространство обобщенных функций. Дельта-функция Дирака. Носитель обобщенной функции. Регулярные и сингулярные обобщенные функции. Формулы Сохоцкого. Свойства обобщенных функций: линейная замена переменных. Умножение обобщенной функции на бесконечно дифференцируемую функцию. Производная обобщенной функции. Свойства операции дифференцирования. Первообразная обобщенной функции. Прямое произведение обобщенных функций. Свойства прямого произведения. Свертка обобщенных функций. Свойства свертки. Существование свертки. Сверточная алгебра. Уравнения в сверточной алгебре. Операторы дробного дифференцирования и интегрирования. Пространство основных функций P. Пространство обобщенных функций медленного роста. Примеры обобщенных функций медленного роста. Структура обобщенных функций с точечным носителем. Преобразование Фурье основных функций из P. Преобразование Фурье обобщенных функций из P'.ФОС для проведения промежуточной аттестации одобрен на заседании кафедры математической физики и вычислительной математики (протокол № 1, от 29 августа 2016 г.).
Автор: к. ф-м. н. доцент
