Практическое занятие 1.1. Обработка результатов эксперимента

Практическое занятие 1.1. Обработка результатов эксперимента

Вопросы: 

       1. Понятие прямых, косвенных и совместных измерений.

       2. Обработка результатов прямых измерений.

       3. Обработка результатов косвенных измерений.

Задание:        

       1. Изучить понятия прямых, косвенных и совместных измерений.

       2. Научиться вести обработку результатов прямых измерений.

       3. Научиться вести обработку результатов косвенных измерений.

       4. Рассмотреть и решить задачи, приведенные в теоретической части.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

1.  При инженерном экспериментировании наиболее распространен измерительный эксперимент. Измерительный эксперимент - основной источник получения количественной информации об объектах. Согласно ГОСТу измерение - это нахождение значения физической величины опытным путем с помощью специальных технических средств, например, прочность при разрыве волокна. В настоящее время существует следующая модель процесса измерения:

       1. Измеряемая физическая величина рассматривается как случайный процесс, т. е. истинное значение измеряемой величины меняется во времени случайно в интервале измерения.

       2. Время измерения ограниченно.

       3. Характеристики средств измерения меняются во времени.

       Измерения бывают прямыми, косвенными и совместными.

       Прямыми называются измерения, уравнения которых имеют вид y = сх, где х - отсчет по измерительному устройству; с - цена деления шкалы; y - значение измеряемой величины в принятых для нее единицах. Например, при измерении ширины образца при помощи микрометра х = 5 делений, с = 0,1 мм, тогда у = 0,5 мм.

       Если положить с = 0,1, то уi = xi = х0+αi (0,1≤ i ≤ n), где xi - измеренное значение величины; х0 - действительное значение искомой величины; αi - случайная погрешность.

       Прямые измерения могут быть равноточные и неравноточные.

       Равноточные проводятся одним и тем же прибором, в одинаковых условиях, одним исследователем и т. д. Тогда мы получим, что хi все равны и одинаковыми являются погрешности αi, т. е. D(x1) = D (x2) = ... = D(xi) = D(xn) = σ2 (параметр, характеризующий точность измерений). Неравноточные, когда D(x1) = σ12; D(x2) = σ22;...; D(xn) = σn2.

       Косвенные измерения - измерения, уравнения которых представляют измеряемую величину в виде функции одного или нескольких аргументов. В этом случае искомую величину не измеряют, а значение ее вычисляют по результатам непосредственных измерений других величин, связанных с искомой определенной зависимостью. Например, водопоглощение волокна находят по формуле: В = (m1-m0)/m0 . 100%. Относительное удлинение ε = (l1-l0)/l0 . 100%.

       Совместные измерения - одновременные измерения двух или нескольких величин, уравнения измерений которых образуют систему линейных независимых уравнений. Для двух измеряемых величин а, b такие уравнения могут иметь вид:

f1(a, b, z1, u1,..., c1, d1, ...) = 0;

f2(a, b, z2, u2,..., c2, d2, ...) = 0,

где f1, f2 - функции; z1, z2, u1, u2 - величины, определяемыми прямыми или косвенными измерениями; ci, di - константы.

При совместных измерениях минимальное необходимое число опытов равно числу неизвестных измеряемых величин. Для рассматриваемого примера оно равно 3.

       Однократные измерения - измерения, при которых число опытов и соответственно число уравнений равно числу измеряемых величин.

       Многократные измерения - измерения, при которых число опытов и число уравнений измерения превышают число измеряемых величин. Многократные измерения проводят с целью уменьшения влияния случайных составляющих погрешностей измерения.

       2. Обработка результатов прямых измерений.

       Целью обработки полученных измерений является определение приближенного значения измеряемой величины и оценка точности этого значения.

       Будем полагать, что даны результаты n независимых измерений некоторой величины: х1, х2, ..., хn. Предположим, что эти измерения свободны от промахов и систематических погрешностей и содержат случайные погрешности.

       Оценить истинное значение измеряемой величины - это значит указать некоторую функцию от результатов измерений, которая называется точечной оценкой и дает достаточно хорошее приближение к измеряемой величине. Таким образом, точечная оценка определяется одним числом. Следует отметить, что оценка является случайной величиной и при выборке малого объема (малого количества опытов) может значительно отличаться от оцениваемого параметра. Поэтому при небольшом объеме выборок  пользуются интервальными оценками. Интервальные оценки позволяют оценить точность и надежность оценок. Если аср есть оценка а0, то некоторое положительное число ε характеризует точность оценки, если рассматривать неравенство вида ⎜а0 - аср ⎜ ε. Действительно, чем ниже ε, тем точнее оценка.

       Надежностью р (или доверительной вероятностью) оценки а0 по аср называют вероятность 1 - α (уровень значимости), с которой выполняется неравенство ⎜а0 - аср ⎜ ε. Обычно α = 0,1; 0,05; 0,01, т. е. говорят о надежности р, равной 0,9; 0,95; 0,99. Обычно в технологии стекла используют 0,9 или 0,95.        Доверительным называется интервал (аср - ε; аср+ε), который покрывает неизвестный параметр с заданной надежностью. Например, значение водопоглощения находится в интервале (15,8-0,04; 15,8+0,04) % с доверительной вероятностью р = 90 %. Рассмотрим методы оценок прямых и косвенных измерений.

Обработка результатов прямых измерений

       Уравнение для случая прямых измерений имеет вид хi = сUi, где Ui - измеренное значение (отсчет в делениях шкалы); с = соnst; хi - значение измеряемой величины в принятых единицах. Если в результате опытов получена выборка х1, х2, ..., хn, то задача состоит в определении среднего выборки, эмпирического стандарта (выборочное стандартное отклонение) и оценке точности их определения.

       Если все измерения равноточны и многократны, то выборочное среднее этих результатов будет иметь вид:

хср =

       Одним из ответственных этапов математической обработки эксперимента является возможность вычисления ошибок. Проще всего вычислять оценку стандартного отклонения случайных ошибок по выборочной дисперсии (среднеквадратичной дисперсии) и по выборочному стандартному отклонению (среднеквадратичному отклонению):

.

       Интервальная оценка при этом имеет вид:

,

где - коэффициент Стьюдента, значения которого определяется по таблице в соответствии с заданной доверительной вероятностью и с учетом числа степеней свободы ν = n - 1.

Пример: рассмотрим общую процедуру обработки прямых измерений. В результате равноточных независимых измерений величины температуры Т в экструдере при призводстве волокна получена выборка (в 0С): 275, 273, 275, 275, 278, 274, 276, 275, 272, 274. Необходимо определить среднее выборочное значение, среднеквадратичную дисперсию, среднеквадратичное отклонение и доверительных интервал при вероятности свершения событий р = 95 % (уровень значимости α=0,05).

Решение:

1. Находим среднее выборочное:

Тср = ==274,7 0С.

2. Находим среднеквадратичную дисперсию:

= = 3,24

3. Находим среднеквадратичное отклонение:

= = 1,8 0С

4. По таблице коэффициентов Стьюдента находим  для α=0,05, степеней свободы ν = n - 1 = 9. Он равен 2,26.

5. Доверительный интервал примет вид:

= 2,26 . 1,8/=1,36, тогда

Т0=274,7±1,36 0С при доверительной вероятности 95 %.

       3. Обработка результатов косвенных измерений.

       Уравнение измерения имеет вид z = f(x, y, ..., u), где z - функция, определяемая по результатам измерений ее аргументов. Мы рассмотрим формулы для определения оценок z0 (истинное или действительное значение), σz (среднеквадратичное отклонение, или параметр характеризующий точность измерений) применительно к некоторым наиболее часто встречающимся видам функций.

       1 вид: z = х ±у. Косвенное измерение состоит из суммы прямых измерений, например в случае расчета общей пористости Побщ (z) берется сумма между числом открытых пор nо и числом закрытых пор nз, т. е. Побщ = f (n0 + nз). Поэтому сколько прямых измерений или аргументов функции, столько и будет расчетов среднего выборочного и среднеквадратичной дисперсии и среднеквадратичного отклонения. У одного и того же образца исследователь многократно измерил ту и другую массы и получил выборку для n0 и для nз.

Для n0 (или одного из аргументов) вычисляем выборочное среднее:

n0ср = ,

далее вычисляем среднеквадратичную дисперсию и среднеквадратичное отклонение для n0.

       Те же действия применяем для nз. Но общее для обоих аргументов среднеквадратичное отклонение будет равно Sn0+nз = SП отк = или в общем виде Sx+y= =. при условии, что случайные ошибки малы, а систематическими пренебрегают, окончательный результат записываем в виде: Потк = z, Sx+y = число.

Кратко укажем другие виды функций:

1) z = ax +by, тогда Sz= ;

2) z = xy, тогда Sz= .