Файл: F-KOSINUS
© , 2013
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА
С ПОМОЩЬЮ ТЕОРЕМЫ КОСИНУСОВ
Доказательство теоремы Ферма для четной степени
Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: неопределенное уравнение:
Аn + Вn = Сn, (1)
где n - целое число, большее двух, не имеет решения в натуральных числах.
Уравнение Великой теоремы Ферма для четной степени n=2m запишем следующим образом:
С2m = А2m + В2m (2)
Возьмем три линейных отрезка с натуральными значениям их длин, построим треугольник. Соотношение между сторонами треугольника определяется теоремой косинусов:
C2 = A2 + B2 -2ABcosв, (3)
где в – угол, противолежащий стороне C треугольника.
Если уравнение теоремы Ферма имеет решение в натуральных числах, должно выполняться равенство:
(A2 + B2 -2ABcosв)m = А2m + В2m (4)
Преобразовывая бином Ньютона в левой части формулы (4), получим:
A2m + B2m ± S = А2m + В2m (5)
где S – сумма слагаемых преобразованного бинома Ньютона без слагаемых A2m и B2m. Поскольку сумма S включает в себя слагаемые, содержащие сомножители cosв в степени от 1 до m, то эта сумма не может быть целым числом и не может быть равна нулю. Следовательно, Формула (5) не может быть равенством, т. е. :
A2m + B2m ± S ≠ А2m + В2m (6)
Из изложенного следует:
1. Уравнение теоремы косинусов невозможно преобразовать в уравнение теоремы Ферма для целочисленных значений размеров сторон треугольника и наоборот.
2. Соотношение между сторонами треугольника с целочисленными значениями их размеров невозможно выразить с помощью двух разных уравнений.
Поскольку достоверность уравнения теоремы косинусов при условии, что размеры всех сторон треугольника имеют целочисленное значение, несомненна и поскольку формула (6) является неравенством, из этого следует, что не существует прямоугольных треугольников Ферма с целочисленными значениями размеров их сторон. Таким образом, уравнение Великой теоремы Ферма не имеет решения в натуральных числах при четной степени.
Доказательство теоремы Ферма для нечетной степени
Уравнение Великой теоремы Ферма для нечетной степени n запишем следующим образом:
Аn + Вn = Сn, (7)
С учетом уравнения (3) формула (4) для нечетной степени преобразуется следующим образом:
[
]n = Аn + Вn (8)
Так как уравнение теоремы Ферма не имеет решения на Пифагоровых тройках чисел, т. е. не существует прямоугольных треугольников Ферма, то 
всегда иррациональное число.
Таким образом, уравнение Великой теоремы Ферма не имеет решения в натуральных числах и при нечетной степени.
Общий вывод: уравнение Великой теоремы Ферма не имеет решения в натуральных числах.
Автор ,
инженер – механик, E-mail: *****@***ru
