Научно-практическая работа по теме «Трисекция угла»

Муниципальное общеобразовательное автономное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 15 г. Новотроицка»

Научно-практическая работа по теме

«Трисекция угла»

Выполнила

Ученица 8 класса В

Александрова Виктория

Учитель математики

Новотроицк

2014 - 2015 уч год

Содержание

Введение …………………………………………………………………3-4

Глава 1. История возникновения………………………………………5-7

Глава 2. Методы решения………………………………………………8

2.1. Метод первый…………………………………………………9-10

2.2. Метод второй………………………………………………….11

2.3. Метод третий - конхоида Никомеда………………………….12-14

2.4. Метод четвертый………………………………………………15-16

2.5 Трисекция угла при помощи невсиса…………………………17-18

2.6. Деление угла на три равные части с помощью трисектора..19-20

2.7. Система «Поко»……………………………………………….21-22

Заключение ……………………………………………………………….23

Список литературы………………………………………………………24

Приложение 1………………………………………………………………25

Приложение 2……………………………………………………………….26

Введение

Под геометрическими построениями понимают элементарные построения на плоскости, основанные на основных положениях геометрии. К ним относятся: проведение взаимно перпендикулярных и параллельных прямых, деление отрезков, углов и др. Геометрические построения выполняют циркулем и линейкой (рейсшиной) или линейкой и угольником.  Знание геометрических построений позволяет правильно начертить контур любого изделия, точно выполнить рамку формата чертежа и верно расположить чертеж внутри ее, точно разметить надписи. Таким образом, геометрические построения являются основой для выполнения чертежа. Знание их значительно ускоряет выполнение чертежа, так как позволяет в каждом случае выбрать наиболее рациональные приемы построений. Кроме того, выполнение геометрических построений дает возможность овладеть правильными приемами работы чертежными инструментами. Графические построения всегда неточны, но степень неточности может быть различной. Построение более точно, если оно содержит мало операций (под операцией понимают проведение прямой линии, вычерчивание дуги, откладывание отрезка и т. п.). Поэтому при решении задачи на построение очень важно выбрать наиболее короткий путь. Точность геометрических построений во многом зависит от аккуратности и внимания работающего.  Среди математических задач некоторые пользуются особой популярностью; им со временем присваивают эпитеты: «неподдающиеся», «коварные»,  «жемчужины математики», «великие», «знаменитые» и т. п.  Особенно большое внимание привлекали к себе в течение многих столетий задачи, которые с давних времен известны как «знаменитые задачи древности». Под этим названием обычно фигурировали три знаменитые задачи: 

1)  квадратура угла,

3

2) трисекция угла,

3) удвоение куба.

Некоторые авторы с полным основанием причисляют к ним еще две задачи древности: 

1) деление окружности на равные части,

2)  квадратура луночек.

       Цель исследования: рассмотреть  подробно одну из знаменитых задач математики.

Объект исследования: задача о трисекции угла.

Предмет исследования: значимость  данной задачи в математике, в жизни.

Гипотеза: знаменитые задачи античности имеют важное  значение в развитии математики  и носят практическую значимость до сих пор

при решении, составлении задач, применении на практике.

Цель, предмет и гипотеза исследования определили постановку следующих задач:

1) изучить различные источники информации по вопросу о трисекции угла;

2) рассмотреть историю возникновения  знаменитых задач;

3) познакомиться с различными способами решения задачи о трисекции угла;

4) проанализировать роль и место знаменитых задач в развитии математики и их применение на практике.

4

Глава 1. История возникновения.

Мы остановимся на одной из трех знаменитых задач древности, которой сегодня найдено красивое решение – это трисекция угла. Родина ее – Древняя Греция. Появилась она, скорее всего, из потребностей архитектуры и строительной техники. Над решением задачи ломали головы еще пифагорейцы (VI век до н. э.). В начале IV века до н. э. в "школе Платона" обосновали необходимость решения геометрических задач на построение циркулем и линейкой. С тех пор и до настоящего времени формулировка задачи трисекции угла звучит так: "С помощью только циркуля и линейки требуется разделить произвольный угол на три равные части". При этом делений на линейке не должно быть, а в процессе построения никаких отметок на ней делать не допускается. Ибо, согласно Платону, все построения циркулем и линейкой должны вытекать из теоретических рассуждений, то есть из мысленных построений. Все то, что можно построить с помощью идеального  циркуля и линейки.

       Геометрические построения, решение некоторых геометрических задач при помощи вспомогательных инструментов (линейка, циркуль и т. п.), которые предполагаются абсолютно точными. В исследованиях по Геометрические построения выясняется круг задач, разрешимых с помощью заданного набора инструментов, и указываются способы решения этих задач. Геометрические построения обычно разделяются на построения на плоскости и в пространстве. Отдельные задачи на Геометрические построения на плоскости рассматривались ещё в древности (например, знаменитые задачи о трисекции угла, удвоении куба, квадратуре круга). Как и многие другие, они относятся к задачам на Геометрические построения с помощью циркуля и линейки. Геометрические построения на плоскости имеют богатую историю.  Теория этих построений разработана датским геометром Г. Мором (1672) и затем итальянским инженером Л. Маскерони (1797). Значительный вклад в

5

теорию Геометрические построения был сделан швейцарским учёным Я. Штейнером (1833). Лишь в 19 в. был выяснен круг задач, разрешимых с помощью указанных инструментов. В частности, отмеченные выше знаменитые задачи древности не разрешимы с помощью циркуля и линейки. Геометрические построения на плоскости Лобачевского занимался сам . Общая теория таких построений и построений на сфере была развита советским геометром -Болтовским. Геометрические построения в пространстве связаны с методами начертательной геометрии. Теория Геометрические построения представляет интерес лишь в части, связанной с практическими приложениями в начертательной геометрии.

Более двух тысячелетий пытались решить эту задачу математики, в том числе и самые гениальные – Гиппократ Хиосский, Архимед Сиракузский, а позднее Декарт, Ньютон, Эйлер... Но тщетно.

       В 16 веке французский математик Ф. Виет на основе трисекции угла нашел тригонометрическое решение квадратного уравнения.

       Лобачевский читал научно-популярные лекции для населения. И одновременно он неустанно развивал и шлифовал главное дело своей жизни — неевклидову геометрию. Первый набросок новой теории — доклад «Сжатое изложение начал геометрии» Лобачевский сделал  23 февраля 1826 года, дата этого выступления считается днём рождения неевклидовой геометрии.

       Павловым  К. К. было рассмотрено четыре способа построения трисектрисы угла:

при помощи циркуля и линейки без засечек

решение Гиппея при помощи квадратрисы

решение Паппа Александрийского при помощи конхоиды Никомеда

6

решение Архимеда при помощи циркуля и линейки с двумя засечками

Наконец в 1837 году французский математик П. Ванцель сделал попытку доказать, что задача неразрешима.

Теорема Морлея о трисектрисах — одна из самых удивительных теорем геометрии треугольника. Трисектрисами угла называются два луча, делящие угол на три равные части. Теорема утверждает: Точки пересечения смежных трисектрис углов произвольного треугольника являются вершинами равностороннего треугольника.

Теорема была открыта в 1904 году Франком Морлеем. Тогда он упомянул об этой теореме своим друзьям, а опубликовал её двадцать лет спустя в Японии.

Давний автор журнала академик Николай Антонович Доллежаль - крупный специалист области энергетики. В свободное время Николай Антонович занимается исследованием знаменитых задач древности, известных как трисекция угла, удвоение куба и квадратура. Сложность всех этих задач состоит в том, что решаться они должны без вычислений и расчетов, чисто геометрически, только с помощью циркуля и линейки без делений. Используя именно этот классический метод, сумел найти очень изящное решение задачи о делении на три равные части произвольного угла.

7

Глава 2. Методы решения

  В данной главе мы рассмотрим методы, которые были изобретены для решения этой задачи, но прежде всего давайте посмотрим, откуда эта проблема возникает естественным образом. Возможно, самый очевидный путь, на котором можно было бы встретить эту задачу – это изучение того, как с помощью циркуля и линейки поделить угол пополам. Это просто. Для данного угла отметим равные отрезки и . Построим ромб и проведем его диагональ , которая, как легко видеть, поделит пополам угол .

Древние греки, безусловно, хотели делить углы в любом требуемом соотношении, так чтобы было возможно построение правильного многоугольника с любым количеством сторон. Построение правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки, разумеется, было одной из основных целей греческой математики, и до открытий Гаусса те правильные многоугольники, которые не смогли построить древние греки, так и не были построены.

8

2.1. Метод первый
  Хотя трудно указать точную дату возникновения задачи трисекции угла, мы знаем, что Гиппократ, внесший первый крупный вклад в решение задач о квадратуре круга и удвоении куба, также изучал эту задачу. Существует довольно простой способ разделить на три равные части любой угол, который был известен Гиппократу.

 

Этот способ состоит в следующем. Для данного угла проведем прямую перпендикулярно прямой , пересекающую ее в точке . Построим прямоугольник . Продлим до точки , и пусть пересекает в точке . Если точка выбрана так, что , то угол составляет угла .  Чтобы убедиться в этом, обозначим через середину , так что . Так как угол прямой, то . Кроме того, . Поскольку , .  Но , что и требовалось.  Теперь приведем одну из причин, по которой задача трисекции угла кажется менее привлекательной, судя по количеству известных решений, дошедших до нас от лучших древнегреческих математиков. Она состоит в том, что построение, приведенное выше, хотя и невозможное с линейкой без делений и циркулем, тем не менее легко осуществимо на практике. Решение механического типа найти легко. Нужно просто отметить длину от

9

правого конца линейки, а затем расположить эту отметку на , а другой конец линейки – на продолжении , так чтобы линейка определила прямую, проходящую через . Трисекция найдена довольно легко с помощью механического процесса. Так как для решения практической задачи с чисто математической точки зрения оставалось сделать немного, хотя греки в целом не были удовлетворены механическим решением, они не сделали это. Как говорил Платон:  “Действуя механическим способом не потерять безвозвратно лучшее в геометрии… ‘’

10

2.2. Метод второй

  Существует еще одно механическое решение, которое нашел Архимед. Мы должны немного остановиться на нем и сказать, что этот метод приведен в арабском труде, который называется “Книга лемм’’, который приписывают Архимеду. Конечно, эта работа не является простым переводом работы Архимеда, хотя Архимед цитируется в ней несколько раз, так что совершенно невозможно для кого-либо присвоить ее себе. Однако большинство историков математики считает, что многие из приведенных в книге лемм действительно принадлежат Архимеду. А результат о делении на три части угла настолько в духе его работы “О спиралях’’, что широко признано, что этот метод действительно является методом Архимеда. Построение происходит следующим образом.
 

Для данного угла проведем окружность с центром в точке так, чтобы и были ее радиусами. Через проведем прямую, пересекающую в точке . Пусть эта прямая пересечет окружность в точке и пусть равно радиусу окружности. Снова это может быть сделано механическим способом, если отметить длину, равную радиусу окружности, на линейке и перемещать ее так, чтобы одна отметка оставалась на , а вторая – на окружности. Перемещать линейку таким образом следует до тех пор, пока она не пройдет через точку . Тогда будет построена прямая . Наконец нужно провести из радиус окружности так, чтобы был параллелен . Тогда отсечет треть угла .Это довольно легко показать,.

11

2.3. Метод третий - конхоида Никомеда

  Никомед жил примерно в то же время, что и Архимед (во втором веке до нашей эры), и он построил свою известную кривую – конхоиду. На самом деле эта кривая была изобретена именно Никомедом для формализации процесса, который мы описали – вращения линейки с закрепленной на прямой точкой. На линейке отмечено фиксированное расстояние, одна отметка находится на данной прямой, в то время как другая описывает кривую – конхоиду. Построение объяснено более подробно в биографии Никомеда (Хит). Теперь это в точности кривая, которая дает решение задачи трисекции угла, приведенной выше, и Никомед решил эту задачу с помощью своей кривой. Однако на практике метод перемещения линейки до получения требуемой конфигурации был в целом гораздо проще, чем рисование конхоиды, и метод Никомеда представлял больше теоретический, а не практический интерес. Хит (Heath) пишет: “Папп говорит нам, что на практике конхоида не всегда на самом деле изображалась, но что иногда, для большего удобства, двигали линейку вокруг неподвижной точки, пока опытным путем секущая не оказывалась равной заданной длине’’.

12

.

Рис: конхоида Никомеда

Задача о трисекции угла становится разрешимой и в общем случае, если не ограничиваться в геометрических построениях одними только классическими инструментами, циркулем и линейкой. Попытки решения задачи с помощью

13

инструментов и средств были предприняты еще в V в. до н. э. Так, например, Гиппий Элидский, знаменитый софист, живший около 420 г. до н. э., пользовался для трисекции угла квадратрисой. Александрийский математик Никомед (II в. до н. э.) решил задачу о трисекции угла с помощью одной кривой, названной конхоидой Никомеда, и дал описание прибора для черчения этой кривой.

14

2.4. Метод четвертый

Папп рассказал нам о конхоиде Никомеда в своем “Математическом собрании”. В этой же работе Папп пишет о том, как проблема трисекции угла была решена Аполлонием с использованием коник. Папп приводит два решения, которые в обоих случаях включают рисование гиперболы.

 

Первый показывает, что если прямая фиксирована, то геометрическое место точек таких, что является гиперболой. Гипербола имеет эксцентриситет 2, фокус и директрису, которая является серединным перпендикуляром . Гипербола изображена в левой части рисунка. Справа на двух рисунках показано, как эта гипербола может быть использована для деления на три равные части угла . Проведем окружность с центром в точке через точки и . Затем построим гиперболу с эксцентриситетом 2, фокусом и директрисой – серединным перпендикуляром к . Пусть она пересечет окружность в точке . Тогда отделяет треть угла .

Чтобы убедиться в этом, заметим, что из свойств гиперболы, описанных выше, . Но , и (центральный угол в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу). Поэтому , что и требовалось.

15

Хит говорит о том, почему этот отрывок из работы Паппа может представлять интерес в связи с греческими исследованиями коник. Он пишет:

“Отрывок из труда Паппа, из которого взято это решение, замечателен тем, что это один из трех мест в сохранившихся работах греческих математиков … в котором говорится о свойствах фокусов и директрис коник.”

Эти построения, описанные Паппом, показывают, как греки “улучшили’’ свое решение задачи трисекции угла. От механических решений они пришли к решению с помощью конических сечений. Они никогда не могли прийти к “плоским решениям’’, поскольку мы знаем, что это невозможно.

Доказательство невозможности ждало математиков XIX века. Полное доказательство было получено Пьером Ванцелем. В 1837 году Ванцель опубликовал его в журнале Лиувилля:  “…посредством оценки, может ли геометрическая задача быть решена с помощью циркуля и линейки’’.

Гаусс заявил, что проблемы удвоения куба и трисекции угла не могут быть решены с помощью циркуля и линейки, но он не привел никаких доказательств этому. В своей работе 1837 года Ванцель первым доказал эти результаты. Позднее Чарльз Штурм улучшил эти доказательства, но он не опубликовал их.

16

2.5 Трисекция угла при помощи невсиса

Невсис позволяет достаточно просто решить задачу трисекции произвольного угла.

Предположим, что имеется угол б = POM (рис. 1). Необходимо построить угол в, величина которого втрое меньше данного: б = 3в.

Продолжим сторону OM исходного угла и построим на ней как на диаметре окружность произвольного радиуса a с центром в точке O. Стороны угла пересекаются с окружностью в точках P и M. Возьмём линейку невсиса, отложив на ней диастему a, и используя прямую OM в качестве направляющей, точку P в качестве полюса, а полуокружность в качестве целевой линии, строим отрезок AB. Получим угол PAM, равный одной трети исходного угла б.

17

Рис.  Трисекция угла с помощью невсиса

18

2.6. Деление угла на три равные части с помощью трисектора

Применяя только циркуль и ли­нейку, не имеющую на себе никаких меток, невозможно разделить произвольно заданный угол на три равные части - Но математика вовсе не отвергает возможности выполнить это деление при помощи каких-либо иных приборов. Придумано много механических приборов для достижения указанной цели. Такие приборы называются трисекторами. Простейший трисектор вы можете легко изготовить из плотной бумага, картона или тонкой жести. Он вам будет служить подсобным чертежным инструментом.

На рис. трисектор изображен в натуральную величину (заштрихованная фигура). Примыкающая к полукругу полоска, АВ равна по длине радиусу полукруга. Край полоски BD составляет прямой угол с прямой АС; он касается полукруга в точке В; длина этой полоски произвольна. На том же рисунке показано употребление трисектора. Пусть, например, требуется разделить на три равные части угол KSM (рис. 147).

Трисектор помещают так, чтобы вершина угла 5 находи­лась на линии BD, одна сторона угла прошла через точку А, а другая сторона коснулась полукруга. Затем проводят прямые SB и SO, и деление данного угла на три равные части окончено. Для доказательства соединим отрезком прямой центр полукруга О с точкой касания N. Легко убедиться в том, что треугольник ASB равен треугольнику SBO, а треугольник SBO

19

Рис.  Трисектор и схема его употребления.

равен треугольнику OSN. Из равенства этих трех треуголь­ников следует, что углы ASB, BSO и OSN равны между со­бой, что и требовалось доказать.

Такой способ трисекции угла не является чисто геометри­ческим; его можно назвать механическим.

20

2.7. Система «Поко»

Предложен новый оригинальный способ трисекции плоского угла по системе ПОКО, в котором используются элементы кулисного механизма ПОДАСКО, разработанного методами теоретической механики. Все операции в предложенном способе трисекции плоского угла выполняются путем засечек с использованием всего лишь простейших инструментов - циркуля и линейки без делений.

На рисунке показана схема предлагаемых построений при разделении произвольного плоского угла на три абсолютно равные части. При этом выполняют следующие операции.

Трисекция плоского угла по системе ПОКО

1. В заданном углу АОВ проводят дугу произвольным радиусом ОС и точки пересечения этой дуги со сторонами заданного угла соединяют хордой СД.

2. Из вершины О заданного угла проводят биссектрису ОБ 1, которая разделит заданный угол на две равные части.

3. Из точек С и Д проводят два луча СХ и ДУ параллельно биссектрисе ОБ 1.

4. Образовавшийся угол АСХ делят биссектрисой СБ 2 пополам.

5. Из точки С как из центра проводят дугу радиусом, равным по величине

21

радиусу ОС, которая пересечет биссектрису ОБ 2 в точке Л.

6. Из точки Л как из центра проводят дугу радиусом, равным по величине радиусу ОС, которая пересечет биссектрису ОБ 2 в точке М.

7. Проводят луч из точки О через точку М, который пересечет в точке К дугу, проведенную из точки С как из центра.

8. Повторно проводят дугу уже из точки К как из центра, тем же радиусом, равным по величине радиусу ОС, которая пересечет в точке Р сторону АО заданного угла, а в точке Т пересечет луч СХ.

9. Из вершины заданного угла в точке О как из центра проводят дугу через точки Р и Т, которая пересечет в точке Е луч ДУ, а в точке П сторону ОВ заданного угла.

10. Проводят лучи из точки О через точки Т и Е и получают окончательно в заданном углу АОВ три абсолютно равные секции: i секция - угол АОТ, ii секция - угол ТОЕ, iii секция - угол ЕОП.

Теоретическая основа данных геометрических построений позволяет получить абсолютно равные секции в заданном углу АОВ, что подтверждается аналитическими выкладками. Однако, достигаемая точность результата зависит во многом от тщательности проводимых работ и точности применяемого инструмента.

Главная особенность описываемого способа геометрических построений - простота выполнения работ и предельная графическая точность при использовании всего лишь простейших инструментов: рейки без делений (линейки) и циркуля.

22

Заключение

Итак, выполнив эту работу, я узнала много нового и интересного о знаменитой классической задаче древности, о людях, посвятивших себя решению данной задачи, познакомилась с историей возникновения данной задачи, методами ее решения.
  Изучив весь этот материал, я поняла, что все старания решить эту знаменитую задачу  при известных ограничивающих условиях (циркуль и линейка) привели только к доказательству, что подобное решение невозможно. Но, несмотря на это, интерес к этим классическим задачам не пропадает и сегодня. Многие современные математики пытаются решить и  эту знаменитую  задачу.
  Мне было интересно узнать, что при попытках решить эту  задачу было сделано огромное число открытий, имеющих гораздо больший интерес и значение, чем сами поставленные задачи.

23

Список литературы

}Пять знаменитых задач древности. История и современная теория. — Ростов н/Д., 1975.

История математики / Под ред. . — М.: Наука, 1970. — Т. 1. С древнейших времен до начала Нового времени.

}Три классические задачи на построение. — М.: Наука, 1992. — Т. 62. — 80 с. — (Популярные лекции по математике).

}Три знаменитые задачи древности. — М.: Гос. Уч.-пед. Изд-во Министерства просвещения РСФСР, 1963. — С. 29—45. — 96 с..

Щетников были найдены некоторые решения трёх классических задач древности? // Математическое образование. — 2008. — В. 48. — № 4. — С. 3–15.

История математики / Под редакцией , в трёх томах. — М.:

Наука, 1970. — Т. I.

атематика. Утрата определённости. М., Мир, 1984.

очные науки в древности. М., 1968.

Розенфельд Пергский. (2004)

Рыбников математики. М., 1994.

24