Выпускная квалификационная работа Исследование устойчивости цилиндрической оболочки

Министерство образования и науки Российской Федерации

КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ им. Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО

КАФЕДРА ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

Специальность: 010800.62 —механика и математическое моделирование

ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА

(Бакалаврская работа)

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ

Работа завершена:

"___"________2015 г. ________________________________( )

Работа допущена к защите:

Научный руководитель

кандидат физ.-мат. наук,

доцент,

"___"___________2015 г. _____________________________( )

Заведующий кафедрой

док. физ.-мат. наук, профессор

"___"___________2015 г. ___________________________( )

.

Казань – 2015

Оглавление

Введение………………………………………………………………………….....3

1. Основные соотношения ……………………………………………………......5

2. Нелинейная задача устойчивости цилиндрической оболочки  при внешнем статическом давлении (одночленное приближение)……………………….........8

3. Исследование устойчивости оболочек с помощью метода Ляпунова.……14

6. Сравнительная таблица………………….…………………………………….19

7. Заключение……….…………………………………………………………….20

8.Список литературы……………………….…………………………………….21

9. Приложение (Реализация методов на mathematica)………………………….22

Введение

Цилиндрические оболочки находят широкое применение в различных областях современной техники, так как оболочки такого вида имеют небольшой вес и просты в изготовлении. Цилиндрические оболочки широко используются в промышленности. Вопросы теории устойчивости оболочек были выявлены при изучении устойчивости цилиндрических оболочек.

Выпучивание оболочек сопровождается резким хлопком, это может произойти в тех случаях, когда они подвергаются действию внешнего давления, кручения, изгиба, осевого сжатия. При резком хлопке происходит потеря устойчивости о, что в свою очередь приводит к появлению трещин, и к потере несущей способности оболочки, в этом и заключается актуальность исследования на устойчивость тонкостенных конструкций.

Актуальность данной проблемы возрастает из-за появления новых более прочных материалов.

Следуя экспериментальным данным, значения критической нагрузки, представленные на рисунке 1, которые зависят от геометрических параметров оболочки  располагаются между нагрузками, значения которых получились при решении линейной и нелинейной задачи устойчивости.

Рис.1.Значения критической нагрузки полученные экспериментальным путем

  Целью данной  работы является нахождение критической нагрузки с помощью подхода Ляпунова, и сравнить с традиционными методами.

Рис.2.Оболочка, подвергавшаяся внешнему давлению, после хлопка

Результаты наблюдений над реальными сооружениями и эксперименты на моделях дают иную картину потери устойчивости, чем та, которая получается на линейной теории.

1.Основные соотношения

Рис.3. Цилиндрическая оболочка при внешнем давлении

Рассматривается замкнутая цилиндрическая оболочка, подвергающаяся внешнему давлению равномерно распределенными усилиями.

R­­-радиус кривизны срединной поверхности;

u, v и w –перемения вдоль линий и по нормали.

Определим кинематические соотношения. Выражения для деформаций срединной поверхности:

Изменения кривизн: 

“Кривизна” кручения поверхности:

  Уравнение совместности деформаций:

или

Уравнения равновесия в проекциях на касательные к линиям x и y:

где 

Третье уравнение равновесия в проекциях на нормаль будет:

  Поперечные силы будут равны:

Подставляя эти выражения в (1.2), получим:

Вводя в уравнение совместности деформаций (1.1) напряжения по соотношениям упругости:

получим:

  Воспользуемся теперь функцией напряжений и выразим

В итоге получим уравнения равновесия:

уравнение неразрывности деформаций:

где w(х, у)-полный прогиб, ф-функция напряжения.

2. Нелинейная задача устойчивости цилиндрической оболочки при внешнем статическом давлении.

Приведем решение нелинейной задачи с помощью метода Ритца:

где

  Первый член-перемещение первого порядка, удовлетворяющая граничным условиям (. Второй член, отражает несимметричность прогиба относительно срединной поверхности, с направлением к центру кривизны. Третий член соответствует радиальным перемещениям точек, не зависящий от y.

  Подставляя (2.1) в уравнение неразрывности, находим функцию напряжений Ф и функцию прогиба w(x, y):

где

  Зная функции напряжений и прогиба можно определить деформации в срединной поверхности, и перемещения u и v. Также учитываем то, что эти функции должны удовлетворять условию замкнутости и периодичности. Получается, что приращение  v при возрастании координаты y на  должно равняться нулю:

  Подставим значения функций ф, W в интеграл (2.3):

Так как    уравнение (2.4) примет следующий вид:

Далее, учитывая безразмерный параметр прогиба получим

где

  Определяем полную энергию системы:

  (2.5)

Где -  потенциальная энергия растяжения срединной поверхности, -потенциальная энергия изгиба, -работа внешней нагрузки.

  Учитывая выражения для W(x, y) и Ф(x, y) получим:

Здесь примем

Произвольно вводим  безразмерный параметр энергии:

Так же вводим и безразмерный параметр внешнего давления:

При этом безразмерный параметр прогиба возьмем:

,

где

       После учета безразмерных параметров, выражение безразмерной работы  примет вид:

где параметр то есть это один из очень важных для нас параметров, так как он связывает число волн по окружности  n с относительной толщиной оболочки .

Выражение безразмерной энергии изгиба:

Выражение безразмерной энергии изгиба:

       С учетом всего этого безразмерный параметр энергии   запишется в следующем виде:

    (2.9)

где:

 

  Применяем  метод Ритца,  т. е. , в итоге получим:

 

В итоге получили уравнение для критической нагрузки:   (2.10)

При :

       Решаем нелинейную задачу. Для этого минимизируем  из уравнения (2.10) по , то есть:

       Решив это уравнение:

- не подходит, так как применяется для решения линейной задачи. Поэтому рассматриваем два остальных корня: .

Так как ,  то корни   будут действительными.

Выбираем один из положительных корней , и подставляем в уравнение (3.10):

  (2.11)

Затем, решая уравнение , находим волновое число  , и подставляем его в выражение  ,получаем численное значение критического прогиба.Подставив численное значение в уравнение для (2.10), находим  .

3. Исследование устойчивости оболочек с помощью метода Ляпунова

  Рассмотрим задачу об устойчивости цилиндрической оболочки при внешнем давлении с точки зрения Ляпунова.

Запишем уравнение движения:

Уравнение неразрывности:

Где w-полный прогиб, и соответствующая ему Ф-фунуция напряжений.

  В  момент потери устойчивости прогиб и функция напряжений получают бифуркационные слагаемые . 

, характеризуют невозмущенное движение.

  Считаем что эти возмущения не малые, поэтому их квадратами и произведениями  не пренебрегаем.

  Рассмотрим невозмущенное движение.

(3.4) – внешнее давление.

Если  тогда

  Выразим из последнего выражение :

  Подставив (3.5) в уравнение равновесия (3.1):

  Подставляя (3.3) в уравнение равновесия (3.1) и уравнение неразрывности (3.2) получим:

Вычтем из уравнения (3.7) уравнение (3.6):

  Для дальнейшего решения задачи введем аппроксимацию для прогиба, удовлетворяющую граничным условиям шарнирного опирания.

  Подставляя (3.10) в уравнение неразрывности (3.8) и интегрируя, получаем:

Где коэффициенты имеют вид:

Решая уравнение (3.9) методом Бубнова-Галеркина, получим:

Вычисляя полученный интеграл, приходим к обыкновенному дифференциальному уравнению относительно

где

n - число волн в окружном направлении.

  Далее используем определение устойчивости по Ляпунову. Задавая начальные возмущения, получим отклик при различных нагрузках. При

Будет наблюдаться “неадекватный” отклик.

  На рисунке 4 представлен график зависимости прогиба от времени . График получен при значении нагрузки Начальный прогиб равен 0,01.

Рис.4. График зависимости прогиба от времени

Из уравнения (3.13) выражаем :

При из уравнения (3.14) получим:

Возьмем  , тогда

Выражаем из последнего уравнения ��, получаем корень:

  Подставив (3.13) в  (3.14), получим:

Найдем  волновое число n, решив уравнение ,и  подставим  его в (3.15) получаем значения для прогиба.

На рисунке 5 представлен график зависимости прогиба от времени . График получен при значении нагрузки Начальный прогиб равен 0,01.

Рис.5. График зависимости прогиба от времени

  Аналитическое решение уравнения (3.13):

Умножаем обе части уравнения на  и проинтегрируем его:

Таб. 1. Сравнение подходов

Геометрические параметры	Линейная теория	Нелинейная теория
Статический подход	Подход Ляпунова
L/R	R/h	100q	n	100q	n	100q	n
1	180	7.5	10	4.4	6	4.75	7.3
3	180	2.3	2.3	1.7	4	1.63	5.2
1	250	6.3	11	3.7	7	3.87	7.3
3	250	2	2	1.6	4	1.45	5.2
1	500	4.3	13	2.8	9	2.87	9.1
3	500	1.4	1.4	1	5	1.06	6.1

  По получившейся таблице видно:

Что чем меньше толщина оболочки, тем меньше значения критических нагрузок, тем больше число волн. При увеличении длины оболочки, уменьшаются численные значения критических нагрузок и числа волн. При использовании подхода Ляпунова критические нагрузки больше чем нагрузки, полученные при статическом подходе решении задач.

       

Заключение

1. Предложена методика решения задач, устойчивости оболочек, используя подход Ляпунова.

2. Решена задача устойчивости в одночленном приближении.

3. Использован метод Бубнова-Галеркина и критерий , для решения нелинейной задачи.

4.  При использовании подхода Ляпунова критические нагрузки больше чем нагрузки, полученные при традиционном решении задач. Тем самым критические при подходе Ляпунова нагрузки более соответствуют экспериментальным данным.

5. Получены графики зависимости прогиба от времени

6. Проведено сравнение результатов.

Список литературы

Вольмир, деформируемых систем./.-М.: издательство Наука, 1967.-551 с. Григолюк оболочек./ , -М.: издательство Наука, 1978.-360 с. Коноплев упругих пластин и оболочек при нестационарных воздействиях./ , .- Казань.: издательство Казанского университета, 1994.-124  с. Нелинейная теория пластин и оболочек./ Казань.: Издательство Казанского университета, 1962.-27 с. Биргер . Устойчивость. Колебания./ , .-М.:1968.-141 с. Огибалов термодинамики и устойчивости оболочек./М.:1963.-270 с.

Приложение