Лекция №3:

Выборочный коэффициент эксцесса.

Различные выборочные коэффициенты асимметрии.

1.Выборочный коэффициент эксцесса Е*

 

  E*>0

  E*=0

  E*<0

E* является мерой крутости кривой распределения:

    Если E*>0, то распределение – островершинное Если  E*<0, то распределение – плосковершинное

2.Выборочный коэффициент асимметрии А*

Пределы значений коэффициента А* от (-∞;+∞):

Если , то кривая распределения симметрична относительно прямой

         

       

        

       

       

   

Если распределение имеет одну моду, то медиана Ме всегда находится между и .

Ме  Ме  

         

3.Квартильный коэффициент асимметрии или асимметрия Баули:

Если ≈-1, то большая отрицательная асимметрия: 50% центрального значения выборки

Если ≈1, то большая отрицательная асимметрия: 50% центрального значения выборки

4.Коэффициент асимметрии Пирсона

Если , то отрицательная симметрия
Если , то положительная симметрия

Аналитическая статистика

Задача математической статистики – всестороннее изучение признака x у объекта статистической совокупности, включающее в себя:

Знание распределения признака x ≡

Распределения генеральной совокупности X ≡

Законы распределения СВ X

Определение значений генеральных числовых характеристик

Истинные значения генеральных числовых характеристик можно получить тольк  в результате смешанного исследования.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Методы математической статистики позволяют лишь оценить их с помощью

- точечных оценок (т. е. – число-точка на оси R)

- интервальных оценок (т. е. интервалом, который с вероятностью ≈1 содержит истинное значение генеральных числовых характеристик

Основные определения и факты теории точечного оценивания:

Пусть требуется по результатам n наблюдений, т. е. по выборке X1, X2,…, Xn из генеральной совокупности требуется оценить неизвестную числовую характеристику ϴ генеральной совокупности, т. е. найти ее приближенное значение.

Определение: Точечной оценкой ϴ* неизвестной числовой характеристики ϴ называется функция результатов наблюдения (т. е. статистика – любая функция от выборки).

ϴ*= ϴ*( X1, X2,…, Xn)

Поскольку X1, X2,…, Xn – случайные величины (СВ), то и ϴ* - СВ.

Если в формулу ϴ*( X1, X2,…, Xn) подставить вместо X1, X2,…, Xn реализацию выборки x1, x2,…, xn, то получим конкретное значение СВ ϴ* - случайное число.

Числовые характеристики

Выборочной совокупности

X1, X2,…, Xn

Генеральной совокупности

X1, X2,…, XN - числа
– точечная оценка среднего генерального =M(х) математическому ожиданию.

    Функция от СВ X1, X2,…, Xn (т. е. СВ - )

при подстановке вместо X1, X2,…, Xn реализацию выборки x1, x2,…, xn получили конкретное значение СВ: - случайное число

- истинное значение – неслучайное число

Дисперсия выборки

D в – точечная оценка генеральной дисперсии D г=

    Функция от СВ X1, X2,…, Xn, т. е. D в – СВ.

При подстановке вместо X1, X2,…, Xn реализации выборки x1, x2,…, xn получили конкретное значение СВ – случайное число.

Истинное значение – неслучайное число.

Поскольку наблюдения X1, X2,…, Xn являются случайными величинами, то и точечная оценка

ϴ*=ϴ*( X1, X2,…, Xn) является –СВ, а, значит, можно говорить о ее математическом ожидании М(ϴ*), дисперсии D(ϴ*) и законе распределения

Требования к точечным оценкам

    Состоятельность Несмещенность Эффективность

Оценку ϴ* можно считать хорошим приближенным неизвестной генеральной числовой характеристики ϴ, если она обладает свойствами:

(обязательное!) Состоятельность – свойство оценок приближаться к оцениваемым величинам и увеличивать свою точность с ростом объема выборки.

Определение: Оценка ϴ*=ϴ*( X1, X2,…, Xn) называется состоятельной оценкой параметра ϴ, если она сходится по вероятности с оцениваемой генеральной числовой характеристикой.

ϴ*

Это означает, что для любого ɛ>0 выполняется равенство:

в пределе при , вероятность того, что оценка ϴ* будет отличаться от самого оцениваемого параметра меньше, чем на

Несостоятельные оценки не используются, т. к. не имеют практического свойства.

(очень желательное) Несмещенность – оценка ϴ*=ϴ*( X1, X2,…, Xn), когда ее математическое ожидание оцениваемой генеральной числовой характеристи М(ϴ*)=ϴ

Если М(ϴ*)≠ϴ, то оценка является смещенной, именно, если М(ϴ*)>ϴ, то систематически заниженной.

Оценка ϴ* называется асимметрически несмещенной, если М(ϴ*)→ϴ при .

Большинство практически важных оценок являются слабосмещенными.

(желаемое) Эффективность

Наилучший в классе несмещенных состоятельных оценок будет оценка ϴ* с наименьшей дисперсией.

Определение: Несмещенная оценка ϴ* генеральной числовой характеристики ϴ называется эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию среди всех возможных несмещенных оценок .

Определение: Асимметрически эффективной является оценка ϴ*, дисперсия которой при приближается к дисперсии эффективной оценки, т. е. к минимально возможной.

D(ϴ*)

Лучшими являются оценки, которые одновременно удовлетворяют всем 3-м свойствам.

Большинство используемых точечных оценок являются слабосмещенными и неэффективными.

Пусть СВ Х имеет нормальное распределение

Точечные оценки параметров

Св-во

точечных оценок



Состоятельность

Да!

Да!

Да!

Да!

Несмещенность

Да!

М()=

Нет!

М=

Да!

М

Да!

Эффективность

D(

Да!

Св-во эффект-ти рассматривается только для несмещенной оценки!

Нет!

Асимптотически эффективна

Да!