Семинар 4. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
Теоретические вопросы для самостоятельного изучения
а) в прямоугольной системе координат;
б) в полярной системе координат;
в) в случае параметрического задания кривой.
Длина дуги пространственной кривой. Объем тела вращения. Площадь поверхности вращения. Определенный интеграл как работа переменной силы.Литература.
Пискунов и интегральное исчисления. Для втузов. Том 1 (любое издание). Москва. Наука.2. , Никольский математика. Дифференциальное и интегральное исчисление. Москва. Наука.
3. , , Кожевникова математика в упражнениях и задачах. Учебное пособие для студентов втузов в двух частях. Часть 1 (любое издание). Москва. Высшая школа.
4. Письменный лекций по высшей математике. Полный курс. Москва. (любое издание)
4.1. Определенный интеграл, его геометрический смысл и свойства.
Пусть функция y=f(x) определена на отрезке [а, Ь]. Разобьем этот отрезок на n произвольных частей точками а=хо<х1<х2<.. .<xn=b. В каждом из полученных частичных отрезков 
, i=l,..n, выберем произвольную точку 
и вычислим f(
). Обозначим ∆ xi=xi-xi-1 - длина частичного отрезка разбиения. Образуем сумму вида
которая называется интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [а, Ь]. Геометрический смысл суммы 
таков: это сумма площадей прямоугольников с основаниями 
и высотами 
.
Обозначим через 
длину наибольшего отрезка разбиения, т. е. 
.
Определенным интегралом называется конечный предел интегральной суммы (при условии его существования) при 
или
Числа а и b называют соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, f(x) - подынтегральной функцией, х - переменная интегрирования.
Пусть на плоскости OXY дана фигура, ограниченная отрезком [а, Ь] на оси ОХ, прямыми х=а, х =b и графиком непрерывной неотрицательной функции y=f(x) на [a, b] (см. рис. 4.1).
Можно показать, что площадь полученной криволинейной трапеции численно равна значению
|
Рис. 4.1 |
В этом и заключается геометрический смысл определенного интеграла.
Основные свойства определенного интеграла.
Для любых чисел a, b, с имеет место равенство 
Имеют место следующие оценки определенного интеграла.
Если на отрезке [a, b]
, то 
. Если на отрезке [a, b] выполняется неравенство 
, то 
. Если f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то выполняется неравенство 
, где m и M-соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a, b]. Теорема о среднем. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то на этом отрезке найдется точка 
такая, что
Пример 1. Оценить интеграл 
Решение. Так как функция f(x)=
непрерывная и монотонно убывающая на отрезке [0,1] то наибольшее значение этой функции на отрезке [0,1] равно 
, наименьшее 
.
Следовательно, имеет место оценка 
Пример 2. Оценить интеграл 
.
Решение. Так как 
, то выполняется соотношение 
. На интервале [12;18] имеет место оценка 
.
Следовательно 
.
4.2 Вычисление определенного интеграла.
Если подынтегральная функция f(x) имеет первообразную F(x) в классе элементарных функций на отрезке [а, Ь], то имеет место формула Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла, а именно
(4.1)
В этой формуле в качестве F(x) можно взять любую первообразную для непрерывной функции f(x) на отрезке [a, b]
Пример 1. Вычислить интеграл 
Решение. Найдем первообразную для функции 
и в качестве F(x) возьмем функцию 
.
Тогда 
.
Пример 2. Вычислить интеграл 
.
Решение. Найдем первообразную для функции 
.
И в качестве F(x) возьмем функцию 
. Тогда
Для вычисления определенных интегралов используют метод замены переменной, осуществляемый по формуле
. (4.2)
где t - новая переменная, х=
(t) - непрерывно дифференцируемая функция на отрезке [
]; 
= а, 
= b;
- новые пределы интегрирования; f[
(t)] - непрерывная функция на [
].
Если при вычислении неопределенного интеграла по методу замены переменной необходимо возвращаться от новой переменной t к старой переменной х, то в определенном интеграле этого делать не нужно. Изменив пределы интегрирования в соответствие с интервалом изменения новой переменной, мы получим тот же результат.
Замечание. В некоторых случаях вместо подстановки х=
(t) применяют подстановку 
,
Тогда пределы интегрирования новой переменной t определяются непосредственно: 
(а) и 
(b).
Здесь следует иметь в виду, что функция х=
(t), обратная к функции
(x), должна удовлетворить всем условиям замены переменной в определенном интеграле. В частности функция х=
(t) должна быть непрерывной и однозначной функцией от t на отрезке [
] и
при изменении t от 
до 
переменная х должна меняться от 
до 
. Поэтому замену переменной обычно производят с помощью монотонных непрерывно дифференцируемых функций, которые гарантируют однозначность как прямой, так и обратной функции.
Пример 3. Bычислить интеграл 
Решение. Воспользуемся подстановкой x=sin t. Тогда при изменении х от 0 до 1, новая переменная t принимает значения от 0 до 
. Проверим выполнение условий, при которых справедлива формула замены переменной.
Функция x=sin t и ее производная 
непрерывны на [0;
]. При изменении х от 0 до 1 новая переменная t меняется от 0 до 
, причем х(0)=1 и 
и функция 
непрерывна на отрезке [0;
].Следовательно,
Пример 4. Вычислить 
Решение. Воспользуемся подстановкой t=lnx; тогда 
и при изменениях х от 1 до е новая переменная t меняется от 0 до 1, причем при х=1 t=0 и при х=е t=1. Следовательно
Пример 5. Вычислить 
Решение. Интегралы от R(
) где R(
) – рациональное выражение, зависящее от 
, приводится к интегралам от алгебраических дробей подстановкой 
=t. Следовательно, воспользуемся заменой t=
откуда x=lnt и 
.
При изменении х от ln2 до 2ln2=ln4, t меняется от 2 до 4 и по формуле замены переменной имеем,
Применяем метод интегрирования алгебраических дробей:
Для определенного интеграла имеет место формула интегрирования по частям:
(4.3)
где u(x) и 
(x) – непрерывно дифференцируемые функции на отрезке [a;b]
Ее применение к вычислению определенного интеграла обусловлено видом подынтегрального выражения.
Пример 6. Вычислить 
Решение. Воспользуемся формулой интегрирования по частям. Положим u=arctgx, d
=
dx, тогда 
. Следовательно, 
Интеграл в правой части равенства вычислим следующим образом:
Тогда 
Пример 7. Вычислить 
Решение. Положим 
Тогда, 
Тогда, 
Имеют место следующие формулы интегрирования четных и нечетных функций на симметричном множестве.
Если f(x)- нечетная функция, т. е. f(-x)=-f(x), то
Если f(x)- четная функция, т. е. f(-x)=f(x), то 
Пример 8. Вычислить 
.
Решение. Подынтегральная функция – нечетная.
Действительно, 
.
Следовательно, 
Пример 9. Вычислить 
Решение. Исследуем подынтегральную функцию на чётность.
Таким образом, подынтегральная функция является нечетной и 
.
Задачи для самостоятельного решения.
Применяя формулы Ньютона-Лейбница, вычислить интегралы.
; 
; 
; 
; 
; 
. Вычислить интегралы с помощью указанных подстановок.
. Вычислить интегралы с помощью замены переменной.
. 
. 
. 
. Вычислить интегралы методом интегрирования по частям.
. 
. 
. 
. Ответы:
1. 
; 2. Ln(e+1); 3. 45/4; 4. 
; 5. 
;
6. 
; 7. 2/3(3+ln2/5); 8. Ln3/2; 9. 
;
10. 2(ln2-1/4); 11. 
; 12. 1-cos1; 13. 
;
14. 
; 15. 10ln2-17/4; 16. 
; 17. 
;
===
