Задания

13.1.

На рисунке показано изменение проекции силы, под действием которой материальная точка совершает гармонические колебания вдоль оси , в зависимости от времени. Максимальной кинетической энергии колеблющейся точки соответствует точка графика …

1) точка 3  2) точка 2  3) точка 4  4) точка 5  5) точка 1

Решение: 

  Поскольку материальная точка совершает гармонические колебания вдоль оси  OX,  то ее координата изменяется согласно закону

  x = A sin (щt + ц),  1)

тогда вектор скорости вдоль оси  OX

  хx = Aщ cos (щt + ц),  2)

а ускорение вдоль оси  OX 

  ax = - Aщ2 sin (щt + ц).  3)

Проекция силы вдоль оси  OX Fx и ускорение вдоль оси  OX  связаны (2-й закон Ньютона)

  Fx = m ax, 

где  m  - масса материальной точки, т. е. графики ax (t) и Fx(t) идентичны с точностью до постоянного коэффициента (массы m).

Кинетическая энергия материальной точки

  Wk = m хx2 / 2  и максимальна, когда модуль скорости материальной точки │ хx│ максимален.

Сравнивая 2) и 3), мы видим, что график скорости  хx опережает график ускорения ax (или силы Fx, как мы выяснили выше) на 90о, а это значит, что скорость хx максимальна, когда ускорение ax = 0 и падает (и меняет знак, т. е. становится отрицательным), а это соответствует точке 3 на графике Fx(t).

Ответ: кинетическая энергия максимальна в точке 3 (вариант ответа 1).

13.3. Идеальный колебательный контур состоит из конденсатора емкости С = 2,5 10-2 мкФ и катушки с индуктивностью L = 1,02 Гн. В момент времени t = 0 конденсатору сообщают заряд qm = 2,5 мкКл. Найти полную энергию контура W и силу тока i в контуре в момент времени, когда напряжение на обкладках конденсатора впервые после начала колебаний равно U = 70,7 В.

Решение: 

  Энергия конденсатора в момент времени t = 0 равна

  WC = qm2 / 2 C = (2,5 10-6)2/(5 10-2 10-6)  Кл2/Ф = 1,25 10-4 Дж.  1)

Поскольку колебательный контур идеален, то это и есть полная энергия контура. Она сохраняется и постоянна.

Напряжение на обкладках конденсатора в момент времени t = 0 равно

  UC (t=0) = qm / C = (2,5 10-6)/ /(2,5 10-2 10-6) Кл/Ф = 100 B.  2)

В идеальном колебательном контуре напряжение на обкладках конденсатора

изменяется по закону

  UC (t) = UC (t=0) cos (щt),  3)

  где  щ = (LC)-1/2  - собственная частота колебаний контура,  4)

  а период колебаний  T = 2р / щ  .  5)

Сила тока в контуре подчиняется закону

  I(t) = Imax sin (щt),  6)

где Imax  и полная энергия контура W связаны

  W = L Imax2 / 2 = 1,25 10-4 Дж.  7)

Imax = (2,5 10-4 / 1,02)1/2 (Дж/ Гн)1/2 = 1,57 10-2 А.  8)

Из 3) найдем момент времени t, когда UC  = 70,7 В  :

cos (щt) = 70,7 / 100 , откуда  щt =  р / 4  и  sin (щt) = 0,707  .

Тогда из 6) и 8) находим  I(t) = 0,707 1,57 10-2  = 1,1 10-2 A = 11 мА  9)

Ответ: полная энергия контура 1,25 10-4 Дж, ток контура  11 мА

13.4  В результате сложения двух колебаний, период одного из которых Т1 = 0,02 с, получают биения с периодом Тб = 0,2 с. Определить период Т2 второго складываемого колебания.

Решение: 

Биение колебаний наблюдается при сложении двух колебаний близких частот со сравнимыми амплитудами колебаний, т. е.

  н 1  ≈  н2  , где  нi  - частота i–го колебания.

Частота биений нб  = н2 – н1 .

Учитывая связь частоты и периода колебаний  Ti = 1 / нi,

находим, что  н 1  = 1/T1 = 1/0,02 c = 50 Гц  - частота первого колебания,

а  нб =  1/ Тб = 1 / 0,2 c = 5 Гц  - частота биений.

Откуда  н2 = 50 Гц  ±  5 Гц  - частота второго колебания,

т. е.  н2  =  45 Гц или  55 Гц  .

Откуда  T2  = 1/ н2 = 1/ 45 Гц  или  1/ 55 Гц  =  0,0222 с  или  0,0182 с.

Ответ:  период второго колебания 0,0222 с  или  0,0182 с (оба колебания при сложении с первым колебанием  T1= 0,02 с дадут биение с  Тб =0,2 с)

13.6.  Математический маятник длиной l = 0,5 м, выведенный из положения равновесия, отклонился при первом колебании на х1 = 5 см, а при втором ( в ту же сторону) –  на х2 = 4 см. Найти время релаксации ф.

Решение: 

Затухающие колебания маятника подчиняются закону

  A(t) = A0 exp(-t/ ф) sin(щ0t + ц0) ,

где  ф  - время релаксации, т. е. время, за которое амплитуда колебаний маятника уменьшится в e раз.

Для первого колебания имеем x1 = A0 exp(-t1/ ф).

Для второго колебания  x2 = A0 exp(-t2/ ф) ,

  где  t2 = t1 + T, 

  T - период колебаний маятника.

Откуда  x2 = A0 exp(-(t1 + T)/ ф) = A0 exp(-t1/ ф) exp(-T/ ф) = x1 exp(-T/ ф).

Тогда  exp(T/ ф) = x1/ x2  ,

  или  T/ ф = ln (x1/ x2 ) ,

  или  ф = T / ln (x1/ x2 ) ,  где  T - период колебаний маятника.

  T = 2р (l / g)1/2,  где  l - длина маятника,  g = 9.8 м/ с2 – ускорение свободного падения.

Отсюда  ф =  2р (l / g)1/2 / ln (x1/ x2 ) = 2р (0,5 / 9,8)1/2 / ln (1,25 )  c =

= 6,36 c ≈ 6,4 c.

Ответ:  6,4 с.

13.7. В упругой среде распространяется плоская монохроматическая волна.

Ниже под номерами 1, 2 указаны направления вектора скорости продольной волны, а под номерами 3,4 – направление вектора скорости поперечной волны.

В каких случаях колебания частиц среды могут происходить вдоль оси 0z? Укажите сумму номеров диаграмм.

Решение: 

Для продольной упругой волны направление колебаний среды происходит вдоль направления распространения волны (направления скорости волны), т. е. для 1) в направлении 0z,

  для 2) в направлении 0x.

Для поперечной упругой волны колебания среды происходят в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны,

т. е. для 3) в направлении 0z  и 0x,

  для 4) в направлении 0x  и 0y.

То есть, колебания среды могут происходить в направлении 0z в случае 1) и 3).

Сумма номеров этих диаграмм = 4.

Ответ:  4 = 1 + 3 .

13.8.  Звуковая волна возбуждается источником колебаний частоты н = 200 Гц. Амплитуда колебаний источника равна А = 4 мм. Найти смещение о(l, t)  точек среды, находящихся на расстоянии l = 100 см от источника, в момент времени t =0,1 с.  Скорость звуковой волны принять равной  v = 300 м/с.

Решение: 

Источник звука колеблется по закону

  x(t) = A sin(2рнt)  ,  где  A = 4 мм,  н = 200 Гц.

Для плоской волны  смещение точек среды, находящихся на расстоянии l  от источника, в момент времени t есть

  о(l, t)  = A sin(2рн[t – l / х])  ,

где  х -  скорость звука ( = 300 м/с).

Отсюда имеем о(l=100см, t = 0,1с )  = 4 мм. sin(2р. 200 . [0,1 – 1/ 300])  =

=  4 мм. 0,852 ≈ 3,4 мм.

Ответ:  точки среды сместились на 3.4 мм в направлении распространения волны.

13.9. На границе раздела двух сред с абсолютными показателями преломления n1 и n2 падает электромагнитная волна. На рисунке изображены расположения векторов напряженности электрического, индукции магнитного полей и скорости падающей и отраженной волн на границе раздела в точке падения.

Какое соотношение справедливо для n1 и n2 и для длины волны в первой (λ1) и второй (λ2) средах? Выберите номер правильной комбинации.

1.n1 = n2, λ2>λ1;         2.n2>n1, λ2<λ1;        3.n2<n1, λ2<λ1;

4.n1 = n2, λ1 = λ2;         5.n2<n1, λ2>λ1.

Решение: 

Поскольку фаза волны при отражении не изменилась, то значит

n1 > n2 . А поскольку длина волны меньше в среде с большим n, то λ1 < λ2 .

Ответ:  вариант 5.

13.10.  В среде с магнитной проницаемостью μ = 1 и диэлектрической проницаемостью ε = 4 в положительном направлении оси 0у распространяется плоская электромагнитная волна. На рисунке приведен график зависимости от времени проекции Еz на ось 0z напряженности электрического поля волны в произвольной точке оси 0у. Определите длину волны λ в среде и амплитуду Вm индукции магнитного поля волны.

Решение: 

Скорость распространения э/м волны 

  х = c / ε1/2 = c / 2  ,

  где  с = 3 . 108 м/с – скорость света в вакууме.

Длина волны  л  =  х. T  ,

  где  T = 8 нс = 8 . 10-9 с  - период колебаний э/м волны.

Отсюда  л =  ((3 . 108 м /c) / 2 ) . 8 . 10-9 c  = 1,2 м.

В электромагнитной волне энергия электрического и магнитного полей равны, т. е. 

  εε0E2 / 2  = μμ0 H2 / 2 = B2/(2μμ0 )  1),

где  E  - напряженность электрического поля э/м волны,

  H - напряженность магнитного поля э/м волны,

  B  - индукция магнитного поля э/м волны,

  B = μμ0 H  ,

  ε0  =  10-9 / (36р) Ф / м  - диэлектрическая постоянная,

  μ0  =  4р. 10-7 Г/ м  - магнитная постоянная.

Из 1) находим

  B2 = εε0μμ0 E2  2),

или  B  =  (εμ)1/2 (ε0μ0)1/2 E  =  (εμ)1/2 E / c  3),

где с = 3 . 108 м/с – скорость света в вакууме.

Отсюда  Вm = 2 . ( 30 В/м ) / (3 . 108 м/с)  = 2 . 10-7 Тл.

Ответ:  длина волны в среде 1,2 м ;

  амплитуда индукции магнитного поля волны 2 . 10-7 Тл.