9. Прямая линия и плоскость в пространстве.
В прямоугольных координатах уравнение первой степени вида
называется общим уравнением плоскости.
Коэффициенты А, В, С являются координатами нормального вектора этой плоскости 
Уравнение первой степени вида
является уравнением плоскости, проходящей через точку 
перпендикулярно
вектору 
Прямая линия в пространстве является пересечением двух плоскостей:
Уравнения первой степени вида
называются каноническими уравнениями прямой в пространстве.
Точка 
принадлежит этой прямой,
вектор 
является направляющим вектором прямой.
Уравнения первой степени вида
называются параметрическими уравнениями прямой в пространстве.
Пример 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки
Решение. Уравнение плоскости, проходящей через точку 
перпендикулярно
вектору 
имеет вид
.
Для нахождения нормали воспользуемся векторным произведением векторов,
которые лежат в этой плоскости.
, 
,
.
Легко увидеть, что в качестве нормали лучше взять 
Получим 
или 
.
Пример 2. Даны пары плоскостей. Определить их взаимное расположение.
1) 
и 
,
2) 
и 
,
3) 
и 
.
Решение.
и 
. 
и 
.
Видно, что координаты этих векторов пропорциональны: 
.
Следовательно, нормальные векторы коллинеарны, а плоскости параллельны.
и 
. 
и 
.
Скалярное произведение этих векторов
.
Следовательно, нормальные векторы ортогональны, а плоскости перпендикулярны.
и 
. 
и 
.
Двугранный угол, образованный пересечением двух плоскостей, равен углу, образованному нормальными векторами.
,
. Заметим, что 
также является ответом.
Пример 3. Найти направляющий вектор прямой
Решение. Для нахождения направляющего вектора воспользуемся векторным произведением нормалей к плоскостям 
и 
:
или проще 
.
Заметим, что все векторы вида 
будут являться направляющими векторами данной прямой 
.
Пример 4. Доказать перпендикулярность прямых линий
и 
.
Решение. Вектор 
является направляющим для первой прямой, а вектор 
- для второй.
Скалярное произведение этих векторов 
.
Следовательно, направляющие векторы ортогональны, а прямые перпендикулярны.
Пример 5. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую линию
и точку 
.
Решение. Точка 
принадлежит прямой,
вектор 
является направляющим вектором прямой.
Т. к. плоскость должна пройти через прямую линию 
и точку 
,
то и вектор 
будет лежать в этой плоскости.
Для нахождения нормали воспользуемся векторным произведением векторов
.
Получим 
или 
.
Пример 6. Найти точку 
, симметричную точке 
относительно плоскости
.
Решение. Сначала найдем точку 
, которая является проекцией точки 
на плоскость 
. Очевидно, точка 
должна лежать на прямой в пространстве, проходящей через точку 
перпендикулярно плоскости 
, т. е. нормаль к плоскости будет направляющим вектором этой прямой 
.
Следовательно, канонические уравнения этой прямой имеют вид
.
Точка 
является пересечением этой прямой и данной плоскости:
Для решения этой системы проще перейти к параметрическим уравнениям прямой:
Имеем 
,
, 
, 
Тогда 
т. е.
точка 
является проекцией точки 
на плоскость.
Для вычисления симметричной точки 
воспользуемся делением отрезка пополам:
т. е. 
т. е. 
т. е. 
.
Пример 7. Найти точку 
, которая является проекцией точки 
на прямую в пространстве 
.
Решение. Точка 
является пересечением данной прямой и плоскости, проходящей через точку 
перпендикулярно к этой прямой. Направляющий вектор прямой будет нормалью к плоскости 
.
Следовательно, уравнение этой плоскости имеет вид 
или
.
. Точка 
является решением системы:
Имеем 
,
, 
, 
Тогда 
т. е.
точка 
является проекцией точки 
на прямую.
