О числе решений одного сравнения второй степени от четырех переменных по простому модулю

УДК 51

О ЧИСЛЕ РЕШЕНИЙ ОДНОГО СРАВНЕНИЯ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ ОТ ЧЕТЫРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ ПО ПРОСТОМУ МОДУЛЮ.

Кафедра естественно-научного образования Юргинского технологического института Томского политехнического университета

*****@***ru

При рассмотрении сравнений от нескольких переменных, главным образом, решается вопрос о числе решений таких сравнений. Аппарат, предложенный в начале ХХ века , для решения данного вопроса, в последствии интенсивно разрабатывался. В настоящей статье, производится исследование одной задачи на сравнение по модулю, равному простому числу; речь идет о сравнении

               (1)

Для рассматриваемого сравнения справедлива следующая

Теорема 1        Пусть число решений сравнения (1), тогда при любом справедлива формула

.                (2)

Для доказательства данного результата нам понадобится ряд теорем.

Теорема 2        Число решений сравнения

Для всех простых не делящих , удовлетворяет неравенству

,

Где . [1]

Применив данную теорему к сравнению (1) получим следующий результат: , , Так как , то и . Таким образом,

или .

Однако, нам необходимо доказать строгое равенство (2). Для этого запишем сравнение (1) в виде системы двух сравнений

,                (3)

Где с пробегает полную систему вычетов. Сравнения второй степени от двух переменных по простому модулю исследованы довольно подробно. Воспользуемся известным результатом о числе решений сравнения второй степени.

Теорема 3        Пусть число решений сравнения

.

Если , тогда

,

- дискриминант многочлена , - символ Лежандра. [2]

Для того чтобы воспользоваться теоремой 3 перепишем систему (3) в виде

.                (4)

Пусть - простое число вида , тогда, рассматриваемый в теореме 3 символ Лежандра . Кроме того, дискриминант трехчленов стоящих в правой части каждого сравнения системы (4) определяется формулой . Так как пробегает полную систему вычетов вместе с с, то сравнение возможно только в случае, когда с=0.

Обозначим через число решений системы (4). Если с=0, то число решений каждого сравнения системы (4) равно , а вся система (4) имеет решений. Если , тогда и решений. Заметим, что число решений сравнения (1) равно сумме решений системы (4), где с пробегает полную систему вычетов.

.

Для простых чисел вида справедливость формулы (2) доказана. Пусть теперь , тогда символ Лежандра . Если с=0, то число решений каждого сравнения системы (4) равно 1, и вся система (4) имеет решение. Если , тогда и решений. Таким образом

.

Формула (2) справедлива и для случая . Теорема доказана.

Литература

, Шафаревич чисел. М.: Наука, 1985. – С. 504. Степанов . М.: Знание, 1975 – С. 64.

Научный руководитель – к. ф.-м. н., доцент