ФОРСИРОВАННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СТАНДАРТНЫХ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ
,
ГОУ ВПО «Кемеровский государственный университет», МАОУ «Гимназия №42»
В своей работе мы предлагаем форсированный или ускоренный метод решения стандартных квадратных уравнений. В начале статьи мы описали различные способы и методы решения данных уравнений. Всех их объединяет необходимости арифметических операций, перестановок единиц уравнения, либо привлечение каких-либо дополнительных средств. Мы предлагаем способ, при котором решение квадратного уравнения можно найти исходя из первоначальных данных. В ходе анализа нами была выявлена закономерность между данными уравнения и его корнями. После анализа большого числа примеров мы выявили два варианта соотношения числовых коэффициентов уравнения: b>a на 1; b<a на 1
При этом мы рассматриваем 4 вида соотношения знаков в уравнении для каждого варианта. Стоит отметить, что мы брали числовые коэффициенты как идеальные числа без учета знаков, но при определении корней уравнения мы учитывали знаки числовых коэффициентов. Рассмотрим их подробнее.
b<a на 1
Форсированный метод решения | Метод нахождения дискриминанта |
| при следующем соотношении знаков в уравнении x2-ax+b=0, мы предполагаем, что корни уравнения будут следующими: X1 = 1, X2= b. Проверим наше предположение на следующем примере: x2 - 5x + 4 = 0, соответственно X1 = 1; X2= 4; | x2- 5x + 4 =0 D = 25 – 16 = 9 x1 = (5-3)/2 = 1 x2 = (5+3) / 2= 4 |
| При следующем соотношении знаков в уравнении x2+ax+b=0, мы предполагаем, что корни уравнения будут следующими: X1 = - 1, X2= - b. Проверим наше предположение: x2+ 3x +2 = 0, соответственно X1 = - 1; X2 = - 2; | x2+ 3x + 2 =0 D = 9 – 8 = 1 x1 = (-3-1)/2 = -2 x2 = (-3+1) /2 = -1 |
| При следующем соотношении знаков в уравнении x2-ax-b=0. В данном типе уравнения форсированный метод не может быть применен, так как при каком либо коэффициенте чисел +- 1 и b уравнение не будет равно нулю. Проверим на примере: x2- 5x - 4 =0, соответственно 16 – 20 – 4 ≠0, 16 + 20 – 4 ≠ 0, 1 – 5 – 4 ≠ 0, 1 + 5 – 4 ≠0. Что и требовалось доказать. | Тоже уравнение имеет следующее решение: x2- 5x - 4 =0 D = 25 + 16 = 41 x1 = (5 + 6, 5)/2 = 5, 75 x2 = (5-6, 5) /2 = - 0, 75 |
| При следующем соотношении знаков в уравнении x2+ax-b=0 В данном типе уравнения форсированный метод не может быть применен, так как при каком либо коэффициенте чисел +- 1 и b уравнение не будет равно нулю. Проверим на примере: x2+ 5x - 4 =0, соответственно 16 – 20 – 4 ≠0, 16 + 20 – 4 ≠ 0, 1 – 5 – 4 ≠ 0, 1 + 5 – 4 ≠0. | Тоже уравнение имеет следующее решение: x2+ 5x - 4 =0 D = 25 + 16 = 41 x1 = (-5 - 6, 5)/2 = - 5, 75 x2 = (-5+6, 5) /2 = 0, 75 |
b>a на 1
| При следующем соотношении знаков в уравнении x2-ax-b=0, мы предполагаем, что корни уравнения будут следующими: X1 = - 1, X2= b. Проверим наше предположение на следующем примере: x2- 7x - 8 = 0, соответственно X1 = - 1; X2= 8; | x2- 3x - 2 =0 D = 49 – 32 = 81 x1 = (7-9)/2 = -1 x2 = (7+9) /2 = 8 |
| При следующем соотношении знаков в уравнении x2+ax-b=0, мы предполагаем, что корни уравнения буду следующими: X1 = 1, X2= - b. Проверим наше предположение на следующем примере: x2+ 5x - 6 = 0, соответственно X1 = 1; тогда X2= - 6; | x2+ 3x -2 =0 D = 25 + 24 = 49 x1 = (-5 - 7)/2 = -6 x2 = (-5+7) /2 = 1 |
| При следующем соотношении знаков в уравнении x2+ax+b=0 В данном типе уравнения форсированный метод не может быть применен, так как при каком либо коэффициенте чисел +- 1 и b уравнение не будет равно нулю. Проверим на примере: x2+ 5x + 6 =0, соответственно 36 + 30+ 6 ≠0, 36 -30 + 6 ≠ 0, 1 + 5 + 6 ≠ 0, 1 - 5 + 6 ≠0. | x2+ 5x + 6 =0 D = 25 – 24 = 1 x1 = (-5 - 1)/2 = -3 x2 = (-5+1) /2 = -2 |
| При следующем соотношении знаков в уравнении x2-ax+b=0 В данном типе уравнения форсированный метод не может быть применен, так как при каком либо коэффициенте чисел +- 1 и b уравнение не будет равно нулю. Проверим на примере: x2- 5x + 6 =0, соответственно 36 - 30+ 6 ≠0, 36 +30 + 6 ≠ 0, 1 + 5 + 6 ≠ 0, 1 - 5 + 6 ≠0. Что и требовалось доказать. | x2- 5x + 6 =0 D = 25 – 24 = 1 x1 = (5 - 1)/2 = 2 x2 = (5+1) /2 = 3 |
Таким образом, после рассмотрения всех соотношений знаков в двух вариантах мы можем сформулировать аксиому: корни квадратного уравнения могут быть найдены исходя из данных самого уравнения, минуя эмпирический путь решения.
