Инвариантные аффинные связности на римановых однородных пространствах

УДК 514.765.1

инвариантные аффинные связности на римановых однородных пространствах

, канд. физ.-мат. наук, доцент,

ИНО БГУ

Пусть M – дифференцируемое многообразие размерности 3, на котором транзитивно действует группа , (M, ) – однородное пространство, G = - стабилизатор произвольной точки xM. Проблема классификации однородных пространств (M, ) равносильна классификации (с точностью до эквивалентности) пар групп Ли (, G), где G. Пусть – алгебра Ли группы Ли , а g – подалгебра, соответствующая подгруппе G. Тогда многообразие M может быть отождествлено с многообразием левых смежных классов /G. Точка x при этом отождествляется со смежным классом а – с факторпространством /g (см., например, [1]). Изучая однородные пространства важно рассматривать не саму группу а ее образ в Diff(M), другими словами, достаточно рассматривать только эффективные действия группы на многообразии M. В терминологии алгебр Ли условие эффективности эквивалентно следующему: назовем пару ( g) эффективной, если подалгебра g не содержит ненулевых идеалов алгебры Ли Строение пар групп Ли (, G), соответствующих данной эффективной паре алгебр Ли ( g), было описано в [2]. Поэтому проблема классификации однородных пространств сводится к классификации пар. В дальнейшем будем предполагать, что – связная подгруппа, что всегда можно сделать, ограничиваясь локальной точкой зрения, следовательно можно заменить требование -инвариантности на инвариантность относительно соответствующих действий алгебры Ли g. Отображение

с: → gl(/g),        x ad|x

называется изотропным представлением подалгебры g. Пара ( g) называется изотропно-точной, если точно изотропное представление подалгебры g. С геометрической точки зрения это означает, что естественное действие для произвольной точки xM на имеет нулевое ядро.

Риманово однородное пространство задается тройкой (, M, с), где - связная группа Ли, M является связным гладким многообразием с транзитивным действием , а с - инвариантная риманова метрика на M. Инвариантные римановы метрики с на M находятся во взаимно-однозначном соответствии с инвариантными симметрическими невырожденными билинейными формами B на G-модуле /g, т. е. риманово однородное пространство (, M, с) описывается тройкой (, g, B) , где (, g) - эффективная пара алгебр Ли, а B - инвариантная симметричная невырожденная билинейная форма на g модуле /g. Существует единственное (с точностью до эквивалентности) риманово однородное пространство (, M, с), соответствующее (, g, B) такое, что M односвязно и G связна. Будем называть тройку (, g, B) локально римановым однородным пространством.

Поскольку каждая инвариантная риманова метрика определяет инвариантную аффинную связность, g-модуль /g точен. Для нахождения всех изотропно-точных пар нужно классифицировать (с точностью до изоморфизма) все точные трехмерные g-модули U (это эквивалентно классификации всех подалгебр в gl(3, R) с точностью до сопряженности), а далее классифицировать (с точностью до эквивалентности) все пары (, g) такие, что g-модули /g и U эквивалентны. Ограничимся случаем с ненулевым стабилизатором, т. к. все остальные римановы однородные пространства - только трехмерные группы Ли с инвариантной метрикой.

Билинейная форма B является инвариантной на g-модуле /g. Выберем пары, допускающие риманову метрику. Далее опишем все такие формы B с точностью до индуцированного действия Aut(, g). Получим:

Таблица умножения	B
1.3.1	e1 u1 u2 u3 e1 0 -u2 u1 0 u1 u2 0 0 0 u2 -u1 0 0 0 u3 0 0 0 0	е1 0 0 0 е1 0 0 0 е2	е1, е2=±1
1.3.2	e1 u1 u2 u3 e1 0 - u2 u1 0 u1 u2 0 0 u1 u2 - u1 0 0 u2 u3 0 - u1 - u2 0	е 0 0 0 е 0 0 0 a	е=±1, a≠0
1.3.3	e1 u1 u2 u3 e1 0 - u2 u1 0 u1 u2 0 e1+u3 0 u2 - u1 - e1-u3 0 0 u3 0 0 0 0	a 0 0 0 a 0 0 0 b	ab≠0
1.3.4	e1 u1 u2 u3 e1 0 - u2 u1 0 u1 u2 0 - e1+u3 0 u2 - u1 e1-u3 0 0 u3 0 0 0 0	a 0 0 0 a 0 0 0 b	ab≠0
1.3.5	e1 u1 u2 u3 e1 0 - u2 u1 0 u1 u2 0 e1 0 u2 - u1 - e1 0 0 u3 0 0 0 0	a 0 0 0 a 0 0 0 ±1	a≠0
1.3.6	e1 u1 u2 u3 e1 0 - u2 u1 0 u1 u2 0 - e1 0 u2 - u1 e1 0 0 u3 0 0 0 0	a 0 0 0 a 0 0 0 ±1	a≠0
1.3.7	e1 u1 u2 u3 e1 0 - u2 u1 0 u1 u2 0 u3 0 u2 - u1 - u3 0 0 u3 0 0 0 0	е 0 0 0 е 0 0 0 a	е=±1, a≠0
3.5.1	e1 e2 e3 u1 u2 u3 e1 0 e3 - e2 - u3 0 u1 e2 - e3 0 e1 - u2 u1 0 e3 e2 - e1 0 0 - u3 u2 u1 u3 u2 0 0 0 0 u2 0 - u1 u3 0 0 0 u3 - u1 0 - u2 0 0 0	1 0 0 0 1 0 0 0 1	±
3.5.2	e1 e2 e3 u1 u2 u3 e1 0 e3 - e2 - u3 0 u1 e2 - e3 0 e1 - u2 u1 0 e3 e2 - e1 0 0 - u3 u2 u1 u3 u2 0 0 e2 e1 u2 0 - u1 u3 - e2 0 e3 u3 - u1 0 - u2 - e1 - e3 0	a 0 0 0 a 0 0 0 a	a≠0
3.5.3	e1 e2 e3 u1 u2 u3 e1 0 e3 - e2 - u3 0 u1 e2 - e3 0 e1 - u2 u1 0 e3 e2 - e1 0 0 - u3 u2 u1 u3 u2 0 0 - e2 - e1 u2 0 - u1 u3 e2 0 - e3 u3 - u1 0 - u2 e1 e3 0	a 0 0 0 a 0 0 0 a	a≠0

Здесь ei - базис g, ui – дополнительный к g в (i=1, 2, 3).

Из трехмерных римановых однородных пространств следующие 7 соответствуют классификации Терстона:

- если стабилизаторы точек пространства трехмерны, то тройка 3.5.1. задает евклидово пространство,  3.5.2. --- сферу, а  3.5.3. --- гиперболическое пространство;

- если стабилизаторы одномерны, то  M - -инвариантное расслоение над одной из двумерных геометрий. На  M  есть  - инвариантная метрика, определяющая связность. При нулевой кривизне связности тройка 1.3.5. задает  S2ЧE1 ,  1.3.6. задает  H2ЧE1 ,  а при ненулевой кривизне тройка 1.3.3. задает  SL(2, R),  1.3.7. задает  нильгеометрию.

Тройки 1.3.1, 1.3.2, 1.3.4 – подалгебры в  3.5.1, 3.5.2 и 3.5.3 соответственно и задают те же однородные пространства.

Для указанных однородных пространств находим инвариантные аффинные связности. Аффинной связностью на паре (, g) называется такое отображение где что его ограничение на g есть изотропное представление подалгебры, а все отображение является g-инвариантным. Хорошо известно (см., например, [3]), что инвариантные аффинные связности на однородном пространстве (M, ) находятся во взаимно однозначном соответствии с аффинными связностями на паре (, g). Поскольку тензоры кривизны и кручения инвариантны относительно действия группы Ли G, то они однозначно определяются тензорами на касательном пространстве к многообразию, причем эти тензоры инвариантны относительно изотропного действия. Тензоры кручения и кривизны для всех имеют вид

, .

Для каждого из указанных выше однородных пространств найдены инвариантные аффинные связности, тензоры кривизны и кручения, а также определено, при каких условиях связность будет являться естественной связностью без кручения и при каких условиях риманова связность совпадает с естественной связностью без кручения, а соответствующее пространство является естественно-редуктивным (геодезически орбитальным).

Список литературы:

1. Онищик, транзитивных групп Ли преобразований / – М.: Физ. - мат. лит., 1995. – 344 с.

2. Кобаяси, Ш. Основы дифференциальной геометрии / Ш. Кобаяси, К. Номидзу – М.:Наука, 1981. – 344 с.

3. Nomizu, K. Invariant affine connections on homogeneous spaces / K. Nomizu // Amer. Journ. Math – 1954. – Vol. 76., № 1. – P. 33–65.