Учебно-методический комплекс дисциплины

КАЗАХСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМ. АЛЬ-ФАРАБИ

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

кафедра Математического и компьютерного моделирования

Согласовано Декан  факультета ____________Ахмед- "  "  2012 г.

Утверждено На заседании Научно-методического  Совета университета Протокол №_5_ от _22__06__ 2012  г. Проректор по учебной работе ___________________ "___22___"_____06_____ 2012 г.

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ

Численные методы анализа и алгебры

Специальность: «5B070500- Математического и компьютерного моделирования»

Форма обучения: дневная

Алматы 2012 г.

УМК дисциплины составлен  и. о. доцент, к. ф.м. н. 

На основании “Экспериментальной образовательной программы и типового учебного плана” направлений подготовки специальности «Математическое и компьютерное моделирование»

Рассмотрен и рекомендован на заседании кафедры  Математического и компьютерного моделирования от «_08_» _май_ 2012 г., протокол №_34_

Зав. кафедрой _________________

Рекомендовано  методическим Советом (бюро) факультета

«_15_»__май__ 2012 г.,  протокол №_9_

Председатель метод бюро_________________

ПРЕДИСЛОВИЕ

Дисциплина " Численные методы анализа и алгебры " призвана подготовить студентов к разработке и применению с помощью ПЭВМ вычислительных алгоритмов решения задач алгебры и анализа.

Первоначально элементы математики появились в связи с необходимостью решения практических задач: измерений на местности, навигации и т. д. Вследствие этого математика была численной математикой - ее целью являлось получение решения в виде числа. Современная математика достигла больших успехов. Однако в течение определенного времени главные усилия математиков были направлены на создание строгой логической базы математических методов, изучение качественной природы математических объектов. Гораздо меньше внимания уделялось разработке методов доведения математических исследований до числового результата, а это является чрезвычайно важным для практической задачи.

В самых разнообразных областях современной науки и техники все чаще приходится встречаться с такими математическими задачами, для которых невозможно получить точные решения (в большинстве случаев в силу нелинейности этих задач) классическими методами или же решение может быть получено в таком сложном виде, которое совершенно неприемлемо для практического использования.

Количество задач такого рода особенно сильно возросло в связи с бурным развитием науки и техники. От математиков потребовалось создание новых вычислительных методов, были поставлены новые вычислительные задачи, увеличился объем вычислений.

По этим причинам сложилась область математики, которая призвана разрабатывать методы доведения до числового результата решений основных задач и пути использования для этой цели современные ПЭВМ. Эта область математики и получила название "Вычислительная математика" и основой ее является "Численные методы".

В настоящее время бурно развивается именно эта область математики. Это связано с появлением современных мощных ПЭВМ и неумением решать нелинейные задачи аналитическими методами.  Это обстоятельство резко повысило роль и значение вычислительной математики.

Для изучения данной дисциплины студент должен иметь навыки работы с ПЭВМ, уметь сформулировать на языке математики конкретные задачи физики и т. д., то есть построить математическую модель рассматриваемого явления.

В процессе изучения данной дисциплины студент приобретает необходимые знания по численным методам решения задач анализа и алгебры, которые позволяют ему ставить вычислительный эксперимент для решения конкретных практических задач.

КАЗАХСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. аль-Фараби

Факультет механико-математический

Образовательная программа по специальности «Математическое и компьютерное моделирование»

Утверждено на заседании Ученого совета механико-математического факультета Протокол №____от « ____»________ 2012  г. Декан факультета _____________ Ахмед-

СИЛЛАБУС

по основному элективному модулю

«ChMAA» - «Численные методы анализа и алгебры»

(3 кредита: лекций -2 кр., сем. зан. – 1 кр.)

Курс -2, р/о, семестр весенний

СВЕДЕНИЯ о преподавателях, ведущих дисциплины:

По дисциплине «Численные методы анализа и алгебры»

Ф. И.О. преподавателя, ученая степень, звание, должность: к. ф.-м. н., доцент   

Телефоны: д. т. 3027231 

e-mail: *****@***ru

каб.: 317, 516

ПАСПОРТ дисциплины:

Цель: Численные методы в настоящее время являются важным средством практической реализации широких классов математических задач. Целью преподавания дисциплины является выработка необходимой интуиции и навыков для нахождения эффективных путей решения задач вычислительной математики, а также познакомить студентов с принципами, на основе которых осуществляется наиболее рациональная стратегия численного решения задач. Целью предмета является ознакомление студентов с численными методами решения задач анализа и алгебры и с принципами построения алгоритмов.

.

Задачи: Главной задача курса состоит в обучении студентов  умело применять методы  численного решения задач анализа и алгебры. Студенты должны знать основные понятия и идеи методов вычислительной математики для решения задач анализа и алгебры, а также обыкновенных дифференциальных уравнений, а затем на их основе приобрести навыки решения практических задач, умело использовать те или иные методы вычислительной математики для реализации на ПЭВМ математических моделей, уметь анализировать численный результат.

Пререквизиты. Предшествующими предметами, необходимыми для изучения данной дисциплины, являются следующие предметы: 1. Высшая алгебра. 2.  Математический анализ. 3. Аналитическая геометрия. 4. Математическая логика. 5. Языки программирования.

Постреквизиттері. После окончания курса студент должен освоить основные методы численного решения задач алгебры и анализа.

СТРУКТУРА, ОБЪЕМ И СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

Не деля	Дисциплина «ChMАА» «Численные методы анализа и алгебры», 3 кредита
Название темы	Час.	Задания на СРС
1. Методы решений систем линейных алгебраических уравнений
1	Лекция-1. Некоторые сведения из теории матриц и теории погрешностей в вычислительной математике. Прямые методы решения СЛАУ: Методы Гаусса, Семинарское занятие-1. Алгебра матриц. Нормы векторов и матриц. Решения СЛАУ по методам Гаусса.	2   1	СРС 1.  Абсолютная и относительная погрешности. Действия над приближенными числами. Оценка погрешностей результата. (Форма сдачи - практическое решение задач)
2	Л-2. Прямые методы решения СЛАУ: Халецкого, квадратных корней. Практические алгоритмы точных методов решения СЛАУ. СЗ-2. Решения СЛАУ по методам Гаусса,  Халецкого и квадратных корней.	2   1	СРС-2. Методы главных элементов.
3	Л-3. Итерационные методы: метод простой итераций, метод Зейделя. Необходимое и достаточное условия сходимости итерационного процесса. Оценка погрешности. СЗ-3. Решения СЛАУ по итерационным  методам.	2 1	СРС-3. Итерационные методы вариационного типа. Метод минимальных невязок. Метод минимальных поправок. Метод скорейшего спуска.
2. Методы вычисления собственных значений и собственных векторов
4	Л-4. Алгебраическая проблема собственных значений для симметричной вещественной матрицы. Метод обращения. СЗ-4. Вычисление собственных значений	2   1	СРС 4. Решения проблемы собственных значений для трехдиагональной матрицы. Степенной метод(Форма сдачи - реферат)
5	Л-5. Метод обратных итераций нахождения собственных векторов. Частичная проблема собственных значений. СЗ-5. Вычисление собственных векторов	2   1
4. Решение нелинейных уравнений, систем нелинейных уравнений
6	Л-6. Решение одного нелинейного уравнения. Методы простой итерации, Ньютона. Сходимость метода простой итераций. Сходимость метода Ньютона.  СЗ-6. Решение задач по методу Ньютона и простой итераций для одного уравнения.	2   1	СРС 5. Метод половинного деления. Метод секущих.
7	Л-7. Решение систем нелинейных уравнений. Метод Ньютона и его модификаций. Метод простой итераций. СЗ-7. Решение задач по методу Ньютона и простой итераций для систем уравнений.	2   1
5. Интерполяция функций
8	Л-8. Постановка задачи интерполирования. Конечные разности. Таблица разностей. Обобщенная степень. Первая и вторая интерполяционные формулы Ньютона. Остаточный член интерполяционной формулы. СЗ-8. Использование формул Ньютона.	2   1	СРС-6. Интерполяционные формулы Гаусса, Стирлинга, Бесселя.
9	Л-9. Интерполяционные формулы Лагранжа. Остаточный член интерполяционной формулы. Оптимальный выбор узлов интерполирования. СЗ-9. Интерполяционные формулы Лагранжа.	2   1	СРС-7. Обратное интерполирование. Экстраполяция Ричардсона.
6. Численное интегрирование
10	Л-10. Примеры формул численного интегрирования. Формулы прямоугольников, трапеции, Симпсона. Оценки погрешностей. СЗ-10. Формулы прямоугольников, трапеции, Симпсона.	2   1	СРС-8. Квадратурные формулы интерполяционного типа. Вывод формул. Оценка погрешности.
7. Основные понятия теории разностных схем.
11	Л-11. Основные понятия теории разностных схем. Разностная аппроксимация простейших дифференциальных операторов. Сетки и сеточные функции. Погрешность аппроксимации на сетке. СЗ-11. Разностная аппроксимация простейших дифференциальных операторов. Погрешность аппроксимации на сетке.	2   1	СРС-9. Разностная аппроксимация дифференциальных операторов.
12	Л-12. Постановка разностной задачи. О сходимости и точности схем. О понятии корректности разностной задачи. Устойчивость, аппроксимация и сходимость. СЗ-12. Сходимость и точность разностных схем.	2 1	СРС-10. Устойчивость, аппроксимация и сходимость разностной задачи.
13	Л-13. Аппроксимация нормированного пространства. Внутренние и внешние аппроксимации. Невязка. Ошибка аппроксимации. Устойчивость. Сходимость. СЗ-13. Невязка. Ошибка аппроксимации. Устойчивость. Сходимость.	2   1
8. Численные методы решения задач  для обыкновенных дифференциальных уравнений.
14	Л-14. Постановка задачи. Методы Эйлера. Модифицированные методы Эйлера. Оценка погрешности.  Методы Рунге-Кутта. СЗ-14. Методы Эйлера и Рунге-Кутта.	2   1	СРС-11. Многошаговые разностные методы. Формулировка методов. Погрешность аппроксимации многошаговых методов.
15	Л-15. Многошаговые разностные методы. Метод Адамса. Оценка погрешности, устойчивость. Метод Милна. Оценка погрешности, устойчивость. СЗ-15. Методы Адамса, Мильна.	2   1	СРС-12. Однородное разностное уравнение с постоянными коэффициентами. Частные решения. Устойчивость по начальным данным. Оценка решения неоднородного уравнения. Оценка погрешности разностного метода.

Ключевые понятия дисциплины в системе знаний и компетенций (Перечень основных понятий, процессов, явлений, необходимых для усвоения содержания дисциплины и формирования компетенций): численный метод, матрица, прямой метод, итерация, конечная разность, алгоритм, сходимость, погрешность.

Список литературы

Основная

,  .  Основы вычислительной математики. Изд.4-е, Исправл., М.,  Наука.  1970. ,  .  Методы вычислений. Том  1,2.  Изд. 2-е, Стереотипное, М.: 1959. .  Численные методы. М.:  Наука,  1978. П. Демидович, , . Численные методы анализа. М., Наука, изд. 3-е, перераб., 1967. . Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. , , . Вычислительные методы. Т. 2, М., Наука, 1976. , . Численные методы. М.: Наука, 1989. , , . Численные методы. МГУ им. .- 3-е изд., доп. и перераб.- М.: БИНОМ, 2004.- 636с. , . Разностные схемы, введение в теорию. М.: Наука, 1977. .  Методы вычислительной математики.  –3 изд., М., Наука, 1989.

Дополнительная

В. Копченова, ,  Вычислительная математика в примерах и задачах. М.:  Наука,  1972. , ,  .  Задачи по вычислительной  математике.  М.: Наука,  1980. Турчак численных методов. - М.: Физматлит, 2003.- 300 с.

Задания и методические рекомендации по СРСП.

Некоторые сведения из теории матриц. Степени матриц. Норма матриц. Метод итерации. Достаточные условия сходимости процесса итерации. Необходимое и достаточное условия сходимости итерационного процесса. Оценка погрешности. Принцип сжатых отображений и применение к исследованию сходимости итерационных методов решения уравнения. Применение принципа сжатых отображений. Оценка погрешности  интерполяционных формул Ньютона Оценка погрешности центральных (Стирлинга, Бесселя) интерполяционных формул. Численное дифференцирование. Квадратурные  формулы Ньютона-Котеса. Сетки и сеточные функции. Погрешность аппроксимации на сетке. Модифицированные методы Эйлера. Оценка погрешности. Метод Адамса. Оценка погрешности, устойчивость.

Формы контроля знаний и компетенций:

Контрольные работы: 3 работы в семестр (по количеству кредитов – из расчета 1 работа на 1 кредит).

СРС: индивидуальные и групповые задания в зависимости от технологии организации СРС (реферат, презентацию, эссе, защиту проекта, аналитический обзор и др. задания проектно-исследовательского характера).

РК: 2

Промежуточный контроль: экзамен в период экзаменационной сессии.

Рубежный контроль проводится по теоретическим и практическим вопросам, входящим в содержание дисциплины (за 7, 8 недель).

Консультации по дисциплинам модуля можно получить во время офис-часов преподавателя (СРСП).

Критерии оценки знаний и компетенций, баллы в %

Контрольные работы	10	60
Посещение и активность в практических занятиях	35
Индивидуальные или групповые задания (СРС)	15
Промежуточный контроль (экзамен)	40	40

Форма проведения рубежных контролей и промежуточного экзамена - в письменном виде

Шкала оценки знаний:

Оценка по буквенной системе	Цифровой эквивалент баллов	%-ное содержание	Оценка по традиционной системе
А	4,0	95-100	Отлично
А-	3,67	90-94
В+	3,33	85-89	Хорошо
В	3,0	80-84
В-	2,67	75-79
С+	2,33	70-74	Удовлетворительно
С	2,0	65-69
С-	1,67	60-64
D+	1,33	55-59
D	1,0	50-54
F	0	0-49	Неудовлетворительно
I (Incomplete)	-	-	« Дисциплина не завершена» (не учитывается при вычислении GPA)
P (Pass )	-	0-60 65-100	«Зачтено» (не учитывается при вычислении GPA)
NP (No Рass)	-	0-29 0-64	«Не зачтено» (не учитывается при вычислении GPA)
W (Withdrawal)	-	-	«Отказ от дисциплины» (не учитывается при вычислении GPA)
AW (Academic Withdrawal)	Снятие с дисциплины по академическим  причинам (не учитывается при вычислении GPA)
AU (Audit)	-	-	«Дисциплина прослушана» (не учитывается при вычислении GPA)

Политика академического поведения и этики

Будьте толерантны, уважайте чужое мнение. Возражения формулируйте в корректной форме. Плагиат и другие формы нечестной работы недопустимы. Недопустимы подсказывание и списывание во время сдачи СРМ, промежуточного контроля и экзамена, копирование решенных задач другими лицами, сдача экзамена за другого студента. Студент, уличенный в фальсификации любой информации курса, получит итоговую оценку «F».

Рассмотрено на заседании кафедры

протокол № __ от « __ » ___________  2012 г.

Зав. кафедрой 

Лектор 

Карта учебно-методической обеспеченности дисциплины

№	Название дисциплины	Автор и наименование учебника (пособия)	Количество в библиотеке КазНУ им. Аль-Фараби	Количество после 2000 года выпуска
основная	дополн.	основная	дополн.
каз.	рус.	каз.	рус.	каз.	рус.	каз.	рус.
Численные методы анализа и алгебры	. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. -653с.	699
, . Разностные схемы, введение в теорию. М.: Наука, 1977.	192
П. Демидович, , . Численные методы анализа. М., Наука, изд. 3-е, перераб., 1967.	21
, , . Численные методы. МГУ им. .- 3-е изд., доп. и перераб.- М.: БИНОМ, 2004.- 636с.	20
,  .  Методы вычислений. Том  1,2.  Изд. 2-е, Стереотипное, М.: 1959.	13
Марчук вычислительной математики : - М.: Наука, 1989.- 608 с.	74
, . Численные методы. - М.: Наука, 1989.- 429с.	63
,  .  Основы вычислительной математики. Изд.4-е, Исправл., М.:  Наука.  1970.	86
.  Численные методы. М.:  Наука,  1978.-512с.	86
Турчак численных методов. - М.: Физматлит, 2003.- 300 с.	49
В. Копченова, ,  Вычислительная математика в примерах и задачах. М.:  Наука,  1972.	12
, , . Задачи по вычислительной математике. М.: Наука, 1980.	31
, , . Вычислительные методы. Т. 2, М.: Наука, 1977. -399с.	10