КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
N=9; M=8
Задача 1
В группе 29 студентов. Из них пять студентов на экзамене получили «отлично», 8 человек – «хорошо», одиннадцать – «удовлетворительно», остальные экзамен не сдали. В составе группы 12 студентов - юноши, остальные - девушки. С какой вероятностью из 12 юношей 4 человека получили «5», 5 студентов - «4», один студент - «3» и два студента не сдали экзамен?
Решение
Согласно классическому определению вероятность события 
, где n – общее число всех возможных, равновозможных и несовместных событий, m – число благоприятных исходов.
Величина n – это число сочетаний по 12 элементов (студентов) из 29 имеющихся (при вычислении полученная студентом оценка не имеет значения), тогда
.
Число благоприятных исходов определяется четырьмя требованиями к уровню знаний студентов. Число способов 
, при которых среди отобранных студентов окажется 4 студента, получивших «отлично» из 5 имеющихся, также определяется соответствующим числом сочетаний: 
. Аналогично вычисляется и количество вариантов выбора 5 «хорошистов» из 8, 1 студента, получившего оценку «удовлетворительно» из 11 и 2 студентов из 5, не сдавших экзамен.
Общее число благоприятных исходов равно произведению чисел благоприятных исходов, т. е.
Таким образом, искомая вероятность определяется выражением
Задача 2
Преподаватель подготовил к контрольной работе 39 задач и предварительно ознакомил с ними студентов. Контрольная состоит из 5 задач. Для получения оценки «5» нужно решить пять задач. Студент знает. Что из всех задач он умеет решать 25 задач. Получив билет и прочитав первую задачу, студент понял, что знает, как она решается. Найти вероятности получения студентом оценки «5»
Решение
Для получения оценки «5» (событие 
) студент должен решить еще четыре задачи. После успешного решения первой задачи остается 38 задач, причем студент умеет решать 24 из них.
Вероятность того, что студент знает решение второй задачи (событие 
), очевидно, равна 
.
Вероятность того, что студент знает решение третьей задачи (событие 
), при условии, что первые две решены, равна 
.
Вероятность того, что студент знает решение четвертой задачи (событие 
), при условии, что первые три решены, равна 
.
Вероятность того, что студент знает решение пятой задачи (событие 
), при условии, что первые четыре решены, равна 
Вероятность того, что студент получит оценку «5» после того, как он успешно решил первую задачу, равна:
Ответ: 
Задача 3
Стрелок делает в тире 3 выстрела подряд с вероятностями попадания, соответственно 0,88, 0,6 и 0,5. За три попадания стрелок получает приз в 10 у. е., за два – 5 у. е., за одно попадание не получает ничего, а за три промаха платит штраф в 20 у. е. Найти средний размер приза, получаемого стрелком за серию из трех выстрелов.
Решение
Обозначим события: Аi –в результате i-го выстрела произошло попадание. Возможно появление 4 исходов в результате проведения испытания:
три промаха в результате трех выстрелов; одно попадание в результате трех выстрелов; два попадания в результате трех выстрелов; три попадания в результате трех выстрелов.Определим вероятность каждого из них:
1)
2)
3)
4) 
Средний размер получаемой стрелком суммы рассчитаем следующим образом:
у. е.
Ответ: средний размер приза, получаемого стрелком за серию из трех выстрелов, составляет 4,54 условных единиц.
Задача 4
Овощная база получает арбузы от трех ферм: половину от первой, треть от второй и остальные от третьей. Продукция первой фермы содержит 10% брака, второй – 15% и третьей – 8%. За качественные арбузы база получает прибыль 1 руб. за килограмм, а за бракованные несет убыток 2 руб. за килограмм. Найти среднюю прибыль за килограмм арбузов.
При этих условиях база понесла убытки за бракованные арбузы 1000 рублей. Как следует распределить убытки между фермами?
Решение
Пусть события 
, 
и 
означают поступление арбузов с первой, второй и третьей ферм соответственно, В – что арбузы некачественные.
По условию задачи 
, 
, 
; условные вероятности события В: 
; 
; 
Тогда согласно формуле полной вероятности безусловная вероятность В:
Тогда среднюю прибыль за 1 кг арбузов можно рассчитать следующим образом:
Для определения вероятностей того, что бракованные арбузы поступили с первой, второй и третьей ферм, воспользуемся формулой Байеса. Апостериорные вероятности 
, 
, 
равны соответственно:
Исходя из этого, 1000 рублей следует распределить следующим образом: 
руб. – сумма для предъявления первой ферме; 
руб. – сумма для предъявления второй ферме; 
руб. – сумма для предъявления третей ферме.
Задача 5
Дискретная случайная величина 
задана законом распределения:
| 0 | 2 | 3 | 13 |
| 0,1 | 0,2 | 0,4 | ? |
Заполнить клетки с недостающей информацией. Найти 
, 
.
Решение
Так как 
| 0 | 2 | 3 | 13 |
| 0,1 | 0,2 | 0,4 | 0,3 |
Найдем характеристики СВ Х:
Задача 6
Вероятность того, что взятая напрокат вещь будет возвращена исправной, равна 0,89. Определить вероятность того, что из 5 взятых вещей не менее трех будут возвращены исправными.
Решение
При повторных испытаниях с одинаковой вероятностью 
благоприятного исхода вероятность 
того, что в 
испытаниях произойдет 
благоприятных исходов, определяется по формуле Бернулли.
, здесь 
Поскольку термин «не менее трех» означает, что 
может принимать значения 3, 4 и 5, получаем:
Ответ: 
Задача 7
По выборке из 25 студентов получены данные о возрасте:
Варианты | 18 лет | 19 лет | 20 лет | 21 год | 22 года |
Частоты | 1 | 7 | 3 | 10 | 4 |
Найти выборочное среднее, выборочное среднеквадратичное отклонение, исправленное среднеквадратичное отклонение, дисперсию выборочного среднего; построить полигон.
Решение
Тогда выборочное среднеквадратичное отклонение 
Найдем исправленную дисперсию
Тогда исправленное среднеквадратичное отклонение 
Дисперсия выборочного среднего вычисляется по формуле
Задача 8
Исследуется средний срок, на который осуждается преступник в г. Мурманске. По 100 рассмотренным делам получены следующие данные
Назначенное наказание (лет) | 0 - 2 | 2 – 4 | 4 - 6 | 6 - 8 | 8 - 10 |
Кол-во дел | 2 | 6 | 53 | 24 | 15 |
Найти выборочное среднее, выборочное среднеквадратичное отклонение, исправленное среднеквадратичное отклонение; построить гистограмму. Считая распределение генеральной совокупности нормальным, найти доверительный интервал для генеральной средней с надежностью 
.
Решение
Найдем середины интервалов и примем их в качестве вариант
Назначенное наказание (лет) | 1 | 3 | 5 | 7 | 9 |
Кол-во дел | 2 | 6 | 53 | 24 | 15 |
Найдем выборочное среднее
Найдем выборочную дисперсию
Тогда выборочное среднеквадратичное отклонение 
Найдем исправленную дисперсию
Тогда исправленное среднеквадратичное отклонение 
Построим гистограмму частот по данному распределению выборки объема 
.
Номер интервала i | Частичный интервал | Сумма частот вариант интервала | Плотность частоты |
1 | 0-2 | 2 | 1 |
2 | 2-4 | 6 | 3 |
3 | 4-6 | 53 | 26,5 |
4 | 6-8 | 24 | 12 |
5 | 8-10 | 15 | 7,5 |
Требуется найти доверительный интервал
Все величины, кроме t известны. Найдем t из соотношения 
. По таблице находим 
