Лекция 13 апреля 2005 г.

Экономика для бакалавров экономического факультета

2й курс ГУ-ВШЭ

©

Рассмотрев модель Солоу, мы не смогли ответить на фундаментальные вопросы теории роста: 1) в чем причина мирового экономического роста и 2) в чем причина различий в доходах между странами. Из метафор П. Ромера мы сделали вывод, что модель Солоу неспособна дать ответы на эти вопросы ввиду того, что в ней нет механизма создания новых технологий. Цель оставшихся лекций – определить класс моделей, которые были бы способны дать ответы на эти вопросы.

Следуя логике Поля Ромера (1986), мы начнем анализ данных вопросов с обратной стороны. Мы постараемся ответить на следующий вопрос: какова должна быть структура экономики, что бы темпы экономического роста завесили бы от государственной политики. Мы увидим, что класс моделей, в которых темпы роста зависят от государственной политики – это модели АК.

Затем мы рассмотрим модель R&D. В данной модели существуют два сектора: сектор производства конечных благ и сектор производства знаний. Мы увидим, что в случае постоянной отдачи по воспроизводимым факторам свойства экономики будут описываться свойствами технологии АК. В противном случае либо темпы роста в долгосрочном периоде не будут зависеть от проводимой политики (только от темпов роста населения), либо рост будет носить взрывной характер1.

1. Технология АК

Поль Ромер (1986) поставил вопрос следующим образом: какова должна быть структура модели, что бы темпы экономического роста были бы заданы эндогенным образом, т. е. определялись бы параметрами модели. Оказывается, для этого необходимо, что бы в экономике наблюдалась постоянная отдача от масштаба по капиталу.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Действительно, существование траектории сбалансированного роста в модели Солоу объясняется лишь убывающей отдачей от масштаба по капиталу: с ростом капиталовооруженности эффективного труда предельная отдача от капитала сокращается, что приводит к сокращению темпа роста капиталовооруженности эффективного труда, которая, в конце концов, стабилизируется на каком-то уровне (см. диаграмму Солоу). Экономический рост, возникающий за счет роста капиталовооруженности, прекращается, и в экономике наблюдается рост лишь за счет роста мистической переменной «А».

Если же отдача от масштаба по капиталу постоянная, то рост капиталовооруженности не приведет к снижению предельной производительности капитала, и рост за счет этого фактора никогда не прекратиться. В результате нам уже не требуется экзогенный технический прогресс, что бы в модели наблюдался долгосрочный рост. Как мы увидим, темпы экономического роста в этом случае зависят от проводимой политики.

Постоянная отдача от масштаба по капиталу означает, что производственная функция линейна:

(1)        ,

где - выпуск, - капитал, - параметр модели (константа)

Модели, в которых производство сводится к технологии (1) получили название «Моделей АК». Что бы убедиться, что в таких моделях действительно наблюдается эндогенный экономический рост, дополним уравнение (1) условием равновесия рынка товаров и услуг:

(2)        ,

где - это норма сбережений, а - темп износа капитала (норма амортизации).

Из выражений (2) и (1) мы можем найти темп роста запаса капитала:

       (3)        

Затем из выражения (1) мы можем найти и тем роста выпуска

       (4)        

Аналогично можно показать, что темпы роста потребления так же равняются .

Таким образом, в моделях АК темпы экономического роста положительно зависят от нормы сбережений.

Все технические вопросы, связанные с технологией АК, обсуждаются в задаче 1. В общем случае темп экономического роста зависит от численности населения и от темпов роста численности населения. Содержание теории АК мы можем резюмировать в следующей фразе:

       В случае постоянной отдачи от масштаба по накапливаемым факторам в экономике наблюдается эндогенный экономический рост. При этом темп экономического роста положительно зависит от нормы сбережений, от численности и от темпов роста численности населения.

Из выражения (4) пока не очевидна зависимость темпов роста от населения; мы эту зависимость увидим чуть позже. Заметим, что экономика АК не имеет переходной динамики: она сразу же оказывается на траектории сбалансированного роста, на которой все переменные растут с постоянным темпом.

Обоснование технологии АК

Изучая модель Солоу, мы пришли к выводу, что степень однородности производственной функции по капиталу составляет 0,3. Вывод о том, что модель Солоу не способна оценить ни мирового экономического роста, ни различий в доходах между странами базировался именно на этой численной оценке. Технология АК предполагает степень однородности по капиталу, равную 1. При этом обе оценки могут рассматриваться как эмпирические: первая основана на оценке доли дохода капитала в общем доходе, а вторая выведена из факта существования самого экономического роста. Чем мы могли бы объяснить различия оценках? В данной секции мы даем ответы на эти вопросы.

Капитал в широком смысле

Во-первых, различия в оценках могут быть объяснены различиями в том, как мы понимаем капитал в двух рассматриваемых случаях. Так, в модели Солоу в качестве капитала выступает только физический капитал: здания, станки, сооружения. При этом оценка однородности функции по капиталу производилась именно на основе оценки доли дохода физического капитала в общем доходе.

В общем случае в качестве капитала может рассматриваться любой воспроизводимый фактор, например, человеческий капитал, знания. В этом случае, во-первых, оценка доли дохода капитала в общем доходе будет больше: в него войдет не только отдача от инвестиций, но так же и отдача от образования, исследований, разработок и инноваций. Во-вторых, вклад капитала в данной ситуации будет недооценен. У нас нет оценок вклада идей в выпуск, которые являются частью капитала в широком смысле. Даже если бы мы статистический оценили долю дохода идей в общем доходе, она нам ничего не сказала бы о вкладе идей в выпуск. Действительно, доля дохода идей равна нулю в случае совершенной конкуренции и постоянной отдачи от масштаба по капиталу и по труду, а в случае несовершенной конкуренции она определяется лишь эластичностью спроса, а не вкладом идей в выпуск. Более подробно мы разберем эти идеи в моделях созидательного разрушения и горизонтальных инноваций.

Обучение опытом

Во-вторых, доля дохода капитала в общем доходе дает заниженную оценку важности капитала в выпуске, если с капиталом связаны положительные внешние эффекты. Такие внешние эффекты возникают, например, в моделях обучения опытом.

Рассмотрим экономику, описываемую следующей системой уравнений:

(5)        

(6)        

(7)        

(8)        

Уравнения (5) и (6) – такие же, как и в модели Солоу. Для простоты мы предположили нулевые темпы роста населения (см. задачу 1). Особенность модели – уравнение (8), которое подразумевает, что технология пропорциональна запасу капитала с коэффициентом пропорциональности . Уравнение (8) отражает идею обучения опытом: чем большим капиталом обладает то или иное предприятие, тем больший опыт накапливают рабочие и менеджмент этого предприятия, в результате производительность труда растет. В качестве примера часто приводится эффект обучения опытом рабочих на авиакомпании Boing. При производстве какой-то одной модели самолета, если технология производства внешне никак не изменяется, строительство каждого нового самолета занимает на 5% меньше времени, чем предыдущего. Таким образом, взаимодействуя с капитальными благами, рабочие накапливают опыт. Этот эффект никак не отражается в цене капитальных благ. Следовательно, мы наблюдаем внешние эффекты, которые неучтены в цене капитала, и которые приводят к недооценке роли капитала в производстве, когда мы её пытаемся оценить через долю дохода капитала в общем доходе.

Что бы решить систему (5) – (8), подставим уравнения (7) и (8) в уравнение (5). Получаем:

       (9)        

С учетом того, что и - это две константы, уравнение (9) описывает технологию АК. Экономика, описываемая технологией (9) не будет иметь переходной динамики, а темпы роста выпуска, капитала и потребления определяются следующим выражением:

       (10)        

Как мы видим из выражения (10), темпы роста экономики положительно зависят он нормы сбережений и численности рабочей силы.

Роль общественных благ (Barro, 1992)

Барро отмечает, что общественные блага, воздействуя на производительность частных факторов, стимулируют экономический рост. Так, строительство новой дороги позволяет снизить частные издержки по транспортировке, в результате отдача от частных факторов становится выше. Что бы провести формальный анализ этого эффекта, введем государственные закупки общественных благ в производственную функцию:

(11)        

Что бы определить динамику модели, нам требуется правило, в соответствии с которым государство закупает общественные блага. Заметим, что государственные закупки в данном случае играют роль промежуточных благ, следовательно, на них распространяется принцип производственной эффективности Даймонда-Миррлииса (1971). Эти авторы показывают, что какова бы ни была структура экономики и экономическая политика, объем производства промежуточных благ в экономике должен выбираться таким образом, что бы экономика находилась на кривой производственных возможностей. Другими словами, выбранный объем государственных закупок должен максимизировать выпуск за вычетом государственных закупок:

       (12)        

Откуда находим

       (13)        =1

       (14)        

Выразим из (14) государственные закупки и подставим в производственную функцию (11). Получаем:

       (15)        

Полагая постоянную численность населения, мы видим, что уравнение (15) вновь является примером технологии АК. Темпы роста экономики определяются следующим выражением:

       (16)        

Как и ранее, темпы роста положительно зависят от нормы сбережений и от численности населения.

Обобщение Ребелло (1991)

Оказывается, совсем не обязательно, что бы в экономике отдача от масштаба по всем воспроизводимым факторам была бы постоянной. Как отмечает Ребелло, достаточно, что бы существовал лишь один воспроизводимый фактор производства, по которому наблюдалась бы постоянная отдача от масштаба. При этом свойства экономики описываются моделью АК.

Рассмотрим следующую технологию:

(17)        

(18)        

(19)        

(20)        

(21)        

Где - воспроизводимое благо с постоянной отдачей от масштаба (технология (18)), а - все оставшиеся виды ресурсов. Для простоты предположим, что в входят лишь не воспроизводимые ресурсы. Выражение (21) задает нам аналог нормы сбережений в модели Солоу: доля от всего капитала идет на воспроизводство капитальных благ, а оставшаяся доля - на производство товаров конечного потребления.

Что бы решить модель, выразим из (18) темп роста запаса капитала и подставим в него из (21):

       (22)        

Из (21) следует, что темпы роста , и совпадают. Что бы, например, показать, что совпадают темпы роста и , достаточно прологарифмировать (21), а затем взять производную по времени. Аналогично можно показать, что совпадают темпы роста и .

Зная темп роста , из (17) мы можем найти темп роста потребления. Прологарифмировав (17) и взяв производную по времени, получаем:

       (23)        

Как мы видим из (23), свойства такой экономики совпадают со свойствами экономики АК.

Гипотеза АК в той или иной модификации достаточно часто используется в моделях экономического роста. Она имеет два достоинства. С одной стороны, она не противоречит наблюдаемым фактам: она удовлетворяет стилизованным фактом Калдора, способна объяснить мировой экономический рост и различия в доходах между странами. С другой стороны, ввиду отсутствия переходной динамики анализ моделей с такой гипотезой оказывается относительно простым.

Итак, мы рассмотрели первую модель, в которой государство способно влиять на темпы экономического роста. Воздействуя налоговой политикой на норму сбережений или на коэффициент вовлеченности рабочей силы (отношение экономически активного населения к населению в целом), государство может стимулировать или замедлять экономический рост. Так, инвестиционные налоговые льготы приведут к росту сбережений и к росту темпов экономического роста2.

2. Модель R&D

В данном разделе мы рассмотрим модель, позволяющую качественно оценить вклад фундаментальных исследований в экономический рост. В данной модели два сектора: сектор производства конечных благ и сектор исследований и разработок. Мы предполагаем, что распределение ресурсов между двумя секторами задается экзогенно: фундаментальные открытия – это общественное благо, которое финансируются государством; следовательно, распределение ресурсов между секторами – это результат выбора экономической политики, а не действия рыночных механизмов.

Вывод из модели будет таким же, как и из моделей АК: если мы предполагаем постоянную (или возрастающую) отдачу от масштаба по воспроизводимым факторам (знания и капитал), то темпы экономического роста будут зависеть от проводимой государством политики. В противном случае темпы роста экономики в долгосрочном периоде стремятся к некой величине, определенной экзогенными параметрами, такими, как темпы роста населения.

Структура производства в секторе производства конечных благ задается производственной функцией Кобба-Дугласа:

(24)        

Параметры aK и aL задают доли труда и капитала, которые отвлечены из сектора производства конечных благ в сектор производства фундаментальных знаний. Эти доли постоянны и задаются экзогенно.

Равновесие рынков требует выполнения следующего условия:

(25)        

Население растет с темпом

(26)        

Производственная функция в секторе производства фундаментальных знаний имеет следующий вид

(27)        

где B, β, γ и θ - положительные параметры модели.

Производственная функция R&D может не обладать свойством постоянной отдачи от масштаба


    Отдача может быть убывающая: две группы ученых базируются на одних и тех же начальных знаниях и производят один и тот же результат. Если бы работала одна группа – производство знаний осталось бы на том же уровне. Отдача может быть возрастающей: из-за существования постоянных издержек, из-за общения исследователей между собой.

Анализ динамики


Во-первых, из уравнений динамики запаса капитала и запаса фундаментальных знаний, выпишем темпы роста для капитала и для фундаментальных знаний.

(28)        

(29)        

Теперь выпишем темпы роста темпов роста. Для этого нужно прологарифмировать эти два выражения, а затем взять производную по времени. Получим

(30)        

(31)        

Характер динамики зависит от отдачи от масштаба по накапливаемым факторам. Из выражения (27) мы видим, что однородность технологии по воспроизводимым факторам составляет . Если = 1, то мы наблюдаем постоянную отдачу от масштаба по воспроизводимым факторам, > 1 – возрастающую и < 1 – убывающую.

Случай β+θ<1


Если β+θ<1, тогда существует траектория сбалансированного роста, причем эта траектория является устойчивой: в долгосрочном периоде экономика стремиться к этой траекторией. Это можно показать на фазовой плоскости для темпов роста капитала и фундаментальных знаний.

Из уравнений (9) и (10) мы можем получить уравнения линий, вдоль которых темпы роста запасов капитала и фундаментальных знаний постоянны:

(32)                

(33)                

Из уравнения (30) мы можем сделать вывод, что темпы роста капитала будут положительны, если экономика находится ниже линии, соответствующей уравнению (32), и отрицательными в противном случае. Из уравнения (31) следует, что темпы роста запаса фундаментальных знаний увеличиваются левее линии (33), и уменьшаются правее. Значит, точка равновесия является устойчивой (см. рисунок)

Первый вывод, который бросается в глаза, состоит в том, что долгосрочные темпы роста не зависят от долей ресурсов, задействованных в экономике. Эти ресурсы влияют лишь на краткосрочную динамику.

Второй вывод, который свойственен практически для всех моделей эндогенного роста, состоит в том, что размер населения (или в данном случае темп роста населения) положительно влияют на темпы экономического роста.

Случай β+θ≥1


Для других параметров модели траектории сбалансированного роста не существуют. Если β+θ≥1, тогда линии постоянного темпа роста запасов капитала и фундаментальных знаний не пересекаются, и со временем экономика выходит на одну из траекторий, вдоль которых темпы роста постоянно увеличиваются (см. рисунок)

Особый интерес представляет случай, когда  β+θ=1, при этом темп роста населения равен нулю. В этом случае существует бесконечное множество траекторий сбалансированного роста, с различными темпами роста вдоль этих траекторий.

Задача 1. Рассмотрим экономику, описывающуюся технологией , где - параметр модели (константа). Темпы роста населения составляют , норма сбережений , а норма амортизации . Таким образом, условие равновесия товарного рынка имеет вид .

Покажите, что в однородность производственной функции по капиталу равна . Предположим, что темпы роста населения равны нулю. Покажите, что в случае убывающей отдачи от масштаба по накапливаемым факторам (т. е. в случае ) экономический рост рано или поздно прекратится. Покажите, что в случае постоянной отдачи от масштаба по накапливаемым факторам () темпы экономического роста будут постоянными. От чего зависят темпы экономического роста? Выразите динамику выпуска , капитала и потребления на душу населения как функции от времени, от начального запаса капитала и от численности населения . В случае (пункт b), предложите несколько примеров экономической политики, стимулирующей экономический рост. Покажите, что в случае возрастающей отдачи от масштаба по накапливаемым факторам () экономика не стремится к траектории сбалансированного роста, при этом темпы роста выпуска в бесконечном будущем стремятся к бесконечности. Предположим, что темпы роста населения положительны. При каком соотношении параметров в экономике будет наблюдаться траектория сбалансированного роста с положительными темпами роста выпуска на душу населения? От чего в этом случае зависят темпы экономического роста? Может ли государство воздействовать на темпы экономического роста? Будет ли существовать траектория сбалансированного роста в случае постоянной отдачи от масштаба по накапливаемым факторам?

Задача 2. Покажите, что свойства моделей обучения опытом, модели государственных закупок Барро и модели Ребелло соответствуют стилизованным фактам Калдора. Покажите, что во всех случаях, когда модель R&D обладает траекторией сбалансированного роста, эта траектория соответствует стилизованным фактам Калдора.

1 Гипотезы модели R&D такие же, как и использованные в учебнике Девида Ромера “Advanced Macroeconomics». Тем не менее ход решения и выводы несколько различаются.

2 В рамках уровня «Макро-2» невозможно определить, как влияют инвестиционные налоговые льготы на инвестиции и сбережения. Можно показать, что рост инвестиционных льгот приведет к росту ставки процента. В результате этого, с точки зрения поведения домашних хозяйств, возникнут два эффекта: эффект дохода и эффект замещения, которые могут действовать в одном, а могут в разных направлениях. В результате сбережения могут увеличится (что приведет к росту инвестиций и темпов экономического роста) или сократятся (снижение инвестиций и темпов экономического роста). Тем не менее, с помощью более сложных методов можно показать, что чистый эффект будет положительным: рост инвестиционных налоговых льгот приведет к росту сбережений, инвестиций и темпов экономического роста.