Нечетким множеством в  называется совокупность пар , где , а - функция , называемая функцией принадлежности нечеткого множества . Значение этой функции для конкретного называется степенью принадлежности этого элемента нечеткому множеству .  Как видно из этого определения, нечеткое множество вполне описывается своей функцией принадлежности, поэтому ниже мы часто будем использовать эту функцию как обозначение нечеткого множества.  Обычные множества составляют подкласс класса нечетких множеств. Таким образом, нечеткое множество представляет собой более широкое понятие, чем обычное множество, в том смысле, что функция принадлежности нечеткого множества может быть, вообще говоря, произвольной функцией.

Нечеткое множество называется пустым, если его функция принадлежности равна нулю на всем множестве , т. е. . Универсальное множество также можно описать функцией принадлежности вида для всех .

Объединением нечетких множеств и в называется нечеткое множество с функцией принадлежности вида  .

Пересечением нечетких множеств и в называется нечеткое множество с функцией принадлежности вида  .

Дополнением нечеткого множества в называется нечеткое множество с функцией принадлежности вида  .

Разность нечетких множеств и в определяется как нечеткое множество  с функцией принадлежности вида  .

Декартово произведение   нечетких множеств в определяется как нечеткое множество в декартовом произведении с функцией принадлежности вида  .

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Нечетким отношением на множестве называется нечеткое подмножество декартова произведения , характеризующееся  функцией принадлежности вида  . Значение этой функции понимается как субъективная мера или степень выполнения отношения  .

Объединением нечетких отношений и в называется нечеткое отношение с функцией принадлежности вида  .

Пересечением нечетких отношений и в называется нечеткое отношение с функцией принадлежности вида  .

Если - нечеткое отношение на множестве , то нечеткое отношение , характеризующееся функцией принадлежности называется дополнением в отношения .

Обратное к нечеткое отношение на множестве определяется функцией принадлежности вида .

Максминное произведение  нечетких отношений и в характеризуется функцией принадлежности вида  .

Рефлексивность. Нечеткое отношение на множестве называется рефлексивным, если для любого выполняется равенство  =1.

Антирефлексивность.  Функция принадлежности антирефлексивного нечеткого отношения обладает свойством =0 при любом .

Симметричность. Нечеткое отношение  на множестве называется симметричным, если для любых  выполняется равенство .

Антисимметричность.  Функция принадлежности антисимметричного нечеткого отношения обладает следующим свойством: .

Транзитивность. Нечеткое отношение  на множестве называется транзитивным, если .

Пример. Пусть универсум есть множество действительных чисел. Нечеткое множество , обозначающее множество чисел, близких к 10, можно задать следующей функцией принадлежности: где .

Показатель степени выбирается в зависимости от степени близости к 10. Например, для описания множества чисел, очень близких к 10, можно положить =4; для множества чисел, не очень далеких от 10, =1.

Пример. Остановимся на понятии лингвистической переменной. Лингвистическую переменную можно определить как переменную, значениями которой являются не числа, а слова или предложения естественного языка. Например, лингвистическая переменная "возраст" может принимать следующие значения: "очень молодой", "молодой", "среднего возраста", "старый", "очень старый" и др. Ясно, что переменная "возраст" будет обычной переменной, если ее значения — точные числа; лингвистической она становится, будучи использованной в нечетких рассуждениях человека. Каждому значению лингвистической переменной соответствует определенное нечеткое множество со своей функцией принадлежности. Так, лингвистическому значению "молодой" может соответствовать следующая функция принадлежности.

Пример. Пусть — нечеткое множество "от 5 до 8" и — нечеткое множество "около 4", заданные своими функциями принадлежности:

Тогда, используя максиминные операции (пересечения, объединения и дополнения), мы получим нечеткие множества, изображенные на следующих рисунках.



Задание. Найти максминное произведение следующих нечетких отношений:

1.

2.

Задание. Проверить на транзитивность следующее нечеткое отношение



§4.2. Нечеткие отношения предпочтения

Пусть заданное множество альтернатив. Нечетким отношением нестрогого предпочтения на будем называть любое заданное на этом множестве рефлексивное нечеткое отношение.

Пусть рефлексивное нечеткое отношение на . Нечеткое отношение квазиэквивалентности , которое имеет функцию принадлежности вида . Нечеткое отношение строгого предпочтения , которое имеет функцию принадлежности вида .

Рассмотрим некоторые свойства введенных отношений. Легко убедиться, что нечеткое отношение  является рефлексивным и симметричным. Нечеткое отношение является антирефлексивным и антисимметричным.

Теорема. Если нечеткое отношение нестрогого предпочтения на является транзитивным, то транзитивными будут и отношения  и .

Напомним, что обычное рефлексивное и транзитивное отношение на  называется квазипорядком, а антирефлексивное, антисимметричное и транзитивное отношение называется строгим порядком на .

Теорема.  Если - нечеткий квазипорядок на множестве , то - соответствующее нечеткое отношение эквивалентности, а  - соответствующий нечеткий строгий порядок на .

Нечеткое подмножество недоминируемых альтернатив.  Согласно определению отношения  для любых альтернатив величина есть степень, с которой альтернатива доминируется альтернативой . Следовательно, при фиксированном определенную на функцию можно рассматривать как функцию принадлежности нечеткого множества всех альтернатив , которые строго доминируются альтернативой . Нетрудно понять, что множество всех альтернатив , которые не доминируются альтернативой , представляет собой дополнение в введенного множества . Согласно определению дополнения получаем, что это новое нечеткое множество описывается функцией принадлежности вида . Если, например,  , то со степенью 0,7 альтернатива не доминируется альтернативой .

Теперь ясно, что для выделения в подмножества всех альтернатив, каждая из которых не доминируется ни одной альтернативой из , нужно взять пересечение нечетких множеств вида по всем . Это пересечение называется нечетким подмножеством недоминируемых альтернатив и обозначается или .

Значение представляет собой степень, с которой альтернатива не доминируется ни одной из альтернатив множества . можно переписать по другому, а именно =.

Поскольку величина есть степень недоминируемости альтернативы , то рациональным при заданной нечеткой информации естественно считать выбор альтернатив, имеющих по возможности большую степень принадлежности нечеткому множеству . Элементы множества будем называть максимальными недоминируемыми альтернативами.

Четко недоминируемые альтернативы.  Множество четко недоминируемых альтернатив  . Четко недоминируемые альтернативы представляют особый интерес в анализируемых задачах рационального выбора, поскольку множество можно рассматривать как в некотором смысле четкое решение нечетко поставленной задачи.

Пример. Пусть множество альтернатив состоит из пяти элементов: . Матрица нечеткого отношения нестрогого предпочтения . Построим матрицу соответствующего нечеткого отношения строгого предпочтения:

. Функция принадлежности нечеткого множества недоминируемых альтернатив имеет вид  . Таким образом, в рассматриваемом множестве имеется единственная четко недоминируемая альтернатива . Заметим, что эта альтернатива доминирует с положительной степенью все остальные альтернативы.

Задание. Пусть множество альтернатив состоит из четырех  элементов:. Матрица нечеткого отношения нестрогого предпочтения имеет вид . Определить рациональную альтернативу.



§4.3. Многокритериальный выбор альтернатив на основе пересечения нечетких множеств

Пусть имеется множество альтернатив и множество критериев , при этом оценки альтернатив по каждому -му критерию представлены нечеткими множествами, которые будем записывать в виде .

Правило выбора лучшей альтернативы можно представить как пересечение нечетких множеств, соответствующих критериям: . Функция принадлежности нечеткого множества имеет вид . Лучшей считается альтернатива , имеющая наибольшее значение функции принадлежности . Если критерии имеет различную важность, то их вклад в общее решение можно представить как взвешенное пересечение: , где - весовые коэффициенты соответствующих критериев, которые должны удовлетворять следующим условиям: . Коэффициенты относительной важности можно определить, используя процедуру попарного сравнения критериев.

Пример.  Цель решаемой задачи – выбор лучшего банка для размещения денежных средств физическим лицом. Было выбрано три банка: альтернативы  . Определено шесть критериев выбора: - процентная ставка; - расположение банка; - активы банка; - политика банка; - ликвидность банка; - репутация банка (оценивается по экспертной пятибалльной шкале). Значения критериев для всех альтернатив определены ниже.


Критерии

Альтернативы

30

35

40

Рядом с домом

В одном районе

В одном городе

15

20

10

Консервативная

Умеренная

Рискованная

2

2,5

1,5

5

4

3

Все критерии представлены следующими нечеткими множествами:

;

;

;

;

;

.

Критерии имеют различную значимость при определении наиболее рационального варианта. В связи с этим необходимо определить весовые коэффициенты критериев.

Один из возможных способов получения значений весовых коэффициентов заключается в построении матрицы попарных сравнений критериев. Для критериев, использованных при решении задачи выбора лучшего банка, составлена следующая матрица попарных сравнений критериев.


Выбор банка

1

7

3

4

1

1

1

1

2

2

1

1

4

7

4

5

1

3

3

2

2

1

1

Коэффициенты относительной важности критериев и = приведены ниже.

0,177

0,053

0,067

0,098

0,442

0,162

1,062

0,318

0,404

0,589

2,652

0,972

Множество оптимальных альтернатив с учетом различной важности критериев качества определяется путем пересечения нечетких множеств следующим образом: , а . Найдем множество оптимальных альтернатив с учетом полученных весовых коэффициентов: . Таким образом, лучшей альтернативой является банк , на втором месте банк , самым худшим вариантом для вклада денег является банк.

§4.4. Многокритериальный выбор альтернатив на основе нечеткого отношения предпочтения

Рассмотрим метод принятия решений, предлагающий построение множества недоминируемых альтернатив на основе нечеткого отношения предпочтения. Пусть задано множество альтернатив  и каждая альтернатива характеризуется несколькими критериями качества. Информация о попарном сравнении альтернатив по каждому критерию качества представлена в форме отношения предпочтения  . Таким образом, имеется отношений предпочтения  на .  Процедура решения задачи выбора выполняется в несколько этапов.

1. Строится нечеткое отношение , которое является пересечением исходных отношений предпочтения: . Определяется нечеткое множество недоминируемых альтернатив в множестве   .

2. Строится нечеткое отношение  :  . Числа в приведенной выше свертке представляют собой коэффициенты относительной важности рассматриваемых критериев, для которых выполняются следующие условия: Данные числа получаются либо путем попарных сравнений, либо путем экспертного назначения весов. Определяется нечеткое подмножество недоминируемых альтернатив в множестве .

3. Отыскивается пересечение нечетких множеств  и : .

4. Рациональным считается выбор альтернатив из множества . Наиболее рациональной альтернативой из множества  является та, которая имеет максимальную степень недоминируемости.

Пример. Анализ и оценка инвестиционных проектов – одна из самых сложных задач в сфере экономики, производства и управления.  Инвестор должен осуществить выбор одного из трех проектов: - проект завода по производству обезвреживания и переработки отходов:  - проект завода по производству аэрозольных огнетушителей третьего поколения; - проект создания инвестиционно-финансовой компании. Главной целью лица принимающего решение является выбор рационального инвестиционного проекта.  Для выбора сформирован следующий набор критериев:  - рентабельность; - оценка возможных рынков сбыта; - первоначальные средства; - производственный риск; - инвестиционный риск. Рациональный выбор связан со стремлением получить решение, характеризующееся приемлемыми оценками по всем критериям, хотя их значимость для лица принимающего решение может быть различной.

Описание альтернатив. 1. Проект по созданию технологии и оборудования для термического обезвреживания и переработки отходов (). В данном проекте предлагается метод переработки отходов, основанный на их последовательной термической и электрошлаковой обработке.

В результате переработки отходов получается шлак – пирозит, который может быть использован в дорожном строительстве, при изготовлении химически стойких облицовочных футеровочных плиток, а также при изготовлении бетона. Срок реализации проекта 12 месяцев. Срок окупаемости проекта 2-3 года. Требуемый объем инвестиций – 0,4 млн долл. Рассчитанная рентабельность инвестиций составляет 4,362. Ожидаемая прибыль без учета налогов после реализации проекта – 322000 долл. в год. Ожидаемый рынок: внутренний рынок России и стран СНГ. Подготовка и реализация проекта связана с достаточно высокой степенью производственного риска и невысокой степенью инвестиционного риска.

2. Проект по созданию производства аэрозольных огнетушителей третьего поколения (). В данном проекте предлагается создание производства безопасных для человека огнетушителей АПГ-3п с беспламенным составом, которые могут работать во взрывоопасных средах. Такие огнетушители могут применяться на производстве и при транспортировке легковоспламеняющихся жидкостей, на автомобильном и железнодорожном транспорте, на судах морского и речного флотов, на любых электроустановках. Аэрозоль, входящий в состав огнетушителя, не портит помещения, оборудования, мебели и продуктов питания. Первоначальные инвестиции – 0,28 млн долл. Срок реализации проекта 12 месяцев. Срок окупаемости проекта 2 года. Рассчитанная рентабельность инвестиций составляет 1,62. Ожидаемая прибыль без учета налогов после реализации проекта – 450000 долл. в год. Ожидаемый рынок: внутренний и внешний рынки. Подготовка и реализация проекта связана с очень высокой степенью производственного риска и средней степенью инвестиционного риска.

3. Проект создания инвестиционно-финансовой компании (). Компания организовывается для работы по следующим направлениям: доверительное управление имуществом, повышение ликвидности товарно-материальных ценностей, управление дебиторскими задолженностями, консультации и услуги по ценным бумагам. Первоначальные инвестиции – 0,1 млн долл. Рассчитанная рентабельность инвестиций составляет 41,62. Ожидаемая прибыль без учета налогов после реализации проекта – 2 млн долл. в год. Ожидаемый рынок: часть регионов России. Подготовка и реализация проекта связана с низкой степенью производственного риска и очень высокой степенью инвестиционного риска.

Проанализировав представленные проекты, получим оценки альтернатив по заданным критериям, которые представлены следующими нечеткими множествами:

;

;

;

;

.

Данные нечеткие множества можно получить на основе матрицы парных сравнений альтернатив по соответствующим критериям. В качестве функции принадлежности берутся КОВ. На основании функций принадлежности построены следующие отношения предпочтения на множестве альтернатив:

;  ;

  ; ; .

Первая строка из нечеткого отношения получается следующим образом: фиксируется значение функции принадлежности для элемента и из нее вычитаются значения функции принадлежности для элемента (получается 0,5-0,1=0,4), затем вычитается значения функции принадлежности для элемента (получается 0,5 -1<0), но так как значение функции принадлежности не может быть отрицательным по определению, то полагаем эту разность равной 0. Аналогично вычисляются другие строки, только фиксируется следующий элемент. По диагонали матрицы нечеткого отношения стоят единицы. Строится нечеткое отношение , которое является пересечением исходных отношений предпочтения: .

.  Определяется нечеткое множество недоминируемых альтернатив в множестве   , где

.

Значения нормированных на единицу весовых коэффициентов критериев посчитаны на основе метода парных  сравнений. Данные коэффициенты заданы вектором  =(0,36; 0,14; 0,13; 0,05; 0,32). Вычислим нечеткое отношение  :  .

. Определяется нечеткое множество недоминируемых альтернатив в множестве   , где

.

Результирующее множество недоминируемых альтернатив – это пересечение нечетких множеств  и , причем . Следовательно, рациональным следует считать выбор альтернативы  , имеющей максимальную степень недоминируемости.

✏Задание. Придумайте и решите одну задачу из области вашей профессиональной деятельности различными методами принятия решений, основанными на теории нечетких множеств. Проведите сравнительный анализ полученных результатов. Сделайте вывод о том, какой из методов дает наиболее адекватные результаты в сравнении с вашими представлениями.

✏Задание. Анализ и оценка выгодного вложения денег – одна из самых сложных задач в сфере экономики, производства и управления.  Инвестор должен осуществить выбор одного из трех банков:  , и . Для выбора сформирован следующий набор критериев: - процентная ставка; - расположение банка; - активы банка. Нечеткие отношения по этим критериям относительно множества альтернатив представлены ниже:

   

Считая, нечеткие отношения разными по важности, определить оптимальный банк для вложения в него средств.