МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени »
Механико-математический факультет
СОГЛАСОВАНО заведующий кафедрой ___________________________ "__" ________________20___ г. | УТВЕРЖДАЮ председатель НМС факультета ___________________________ "__" ________________20___ г. |
Фонд оценочных средств
Текущего контроля и промежуточной аттестации по дисциплине (модулю)
Марковские и полумарковские процессы
Направление подготовки
бакалавриата
01.03.02
Прикладная математика и информатика
Профиль подготовки бакалавриата
Математическое и информационное обеспечение экономической деятельности
Квалификация (степень) выпускника
Бакалавр
Форма обучения
очная
Саратов,
2016 год
Карта компетенцийКонтролируемые компетенции (шифр компетенции) | Планируемые результаты обучения (знает, умеет, владеет, имеет навык) |
ОК7 – способность к организации и самообразованию | Знать: содержание процессов самообразования, их особенностей и технологий реализации, исходя из целей совершенствования профессиональной деятельности. З (ОК-7)-II |
Уметь: использовать технологии самообразования, самостоятельно строить процесс овладения информацией, отобранной и структурированной для выполнения профессиональной деятельности. У2 (ОК-7)-II | |
Владеть: способностью к самоорганизации и самообразованию, технологиями организации процесса самообразования; приемами целеполагания во временной перспективе, способами планирования, организации, самоконтроля и самооценки деятельности. В2 (ОК-7)-II | |
ОПК1 – способность использовать базовые знания естественных наук, математики и информатики, основные факты, концепции, принципы теорий, связанных с прикладной математикой и информатикой | Знать: знать основные понятия, концепции, результаты, задачи и методы классической теории массового обслуживания, актуальные проблемы этой теории. |
Уметь применять математические методы и модели к анализу случайных явлений для их описания и понимания применительно к теории массового обслуживания. | |
Владеть: современными информационно-коммуникационными технологиями, владеть навыками вычисления характеристик систем массового обслуживания | |
ПК1 - способность собирать, обрабатывать и интерпретировать данные современных научных исследований, необходимые для формирования выводов по соответствующим научным исследованиям | Знать: основы теории резервирования в задачах массового обслуживания с ограниченным временем ожидания; предельные теоремы для суммарного потока |
Уметь: уметь выводить уравнения простейшего потока требований; уметь решать уравнения простейшего нестационарного потока требований. | |
Владеть: общей схемой построения марковской модели системы массового обслуживания; | |
ПК2 - способность понимать, совершенствовать и применять современный математический аппарат | Знать: историю основных методов и приемов использования современного математического аппарата, основы теории резервирования в задачах массового обслуживания с ограниченным временем ожидания; предельные теоремы для суммарного потока; знать основные понятия теории систем массового обслуживания |
Уметь: понять поставленную задачу, эффективно применять и умело сочетать методы и приемы, разработанные на настоящий момент; совершенствовать известные методики, уметь выводить уравнения простейшего потока требований; уметь решать уравнения простейшего нестационарного потока требований; | |
Владеть: навыками постановки и решения профессиональных задач с использованием методов и приемов современного математического аппарата, общей схемой построения марковской модели системы массового обслуживания |
Показатели оценивания планируемых результатов обучения
Семестр | Шкала оценивания | |||
2 | 3 | 4 | 5 | |
7 семестр | Студент не знает основных определений и понятий теории массового обслуживания, не понимает ее целей и задач, областей применения, не может сформулировать и доказать основные теоретические факты курса, не умеет решать задачи, не владеет общей схемой построения марковской модели системы массового обслуживания, не умеет решать уравнения простейшего нестационарного потока требований; | Студент знает основные определения и понятия теории массового обслуживания, понимает ее цели и задачи, умеет решать простые задачи, но затрудняется при решении более сложных задач. Не всегда правильно понимает области применения методов теории массового обслуживания. Может сформулировать основные теоретические факты курса, но путается в их доказательстве, слабо владеет общей схемой построения марковской модели системы массового обслуживания; слабо умеет решать уравнения простейшего нестационарного потока требований . | Студент знает основные определения и понятия теории массового обслуживания, понимает ее цели и задачи, области применения. Может сформулировать основные теоретические факты курса и доказать большинство из них. Затрудняется при доказательстве наиболее сложных утверждений, хорошо владеет общей схемой построения марковской модели системы массового обслуживания; хорошо умеет выводить уравнения простейшего потока требований; хорошо умеет решать уравнения простейшего нестационарного потока требований | Студент знает основные определения и понятия теории массового обслуживания, понимает ее цели и задачи, уверенно владеет методами финансовой математики. Умеет решать задачи различной сложности. Может сформулировать и доказать основные теоретические факты курса, свободно владеет общей схемой построения марковской модели системы массового обслуживания; отлично умеет выводить уравнения простейшего потока требований; отлично умеет решать уравнения простейшего нестационарного потока требований; |
8 семестр | Студент не знает основных определений и понятий теории массового обслуживания, не понимает ее целей и задач, областей применения, не может сформулировать и доказать основные теоретические факты курса, не умеет решать задачи теории резервирования для систем массового обслуживания с ограниченным временем ожидания; не знает предельные теоремы для суммарного потока. | Студент знает основные определения и понятия теории массового обслуживания, понимает ее цели и задачи, умеет решать простые задачи, но затрудняется при решении более сложных задач. Не всегда правильно понимает области применения методов теории массового обслуживания. Может сформулировать основные теоретические факты курса, но путается в их доказательстве.. С ошибками может решать задачи теории резервирования для систем массового обслуживания с ограниченным временем ожидания; с трудом формулирует предельные теоремы для суммарного потока. | Студент знает основные определения и понятия теории массового обслуживания, понимает ее цели и задачи, области применения. Может сформулировать основные теоретические факты курса и доказать большинство из них, может решать задачи теории резервирования для систем массового обслуживания с ограниченным временем ожидания. Затрудняется при доказательстве предельных теоремы для суммарного потока. | Студент знает основные определения и понятия теории массового обслуживания, понимает ее цели и задачи, уверенно владеет методами теории массового обслуживания. Умеет решать задачи различной сложности, в том числе и задачи теории резервирования для систем массового обслуживания с ограниченным временем ожидания Может сформулировать и доказать основные теоретические факты курса. Отлично знает предельные теоремы для суммарного потока. |
3.Оценочные средства
3.1 Задания для текущего контроля
Кейс-задача – не предусмотрен. Доклад – не предусмотрен. Реферат - не предусмотрен. Контрольная работа (примеры типовых заданий контрольных работ)
Типы заданий контрольной работы:
- Решение задач на многоканальную СМО с отказами; решение на многоканальную СМО со взаимопомощью; построение алгоритма численного решения задач на СМО.
Контрольная работа № 1
Вариант 1
1.Определить класс СМО по следующим основаниям: а) по характеру поступления заявок на обслуживание; б) по характеру поведения заявки в системе; в) по ограничению потока заявок; г) по числу каналов обслуживания.
В районной налоговой инспекции в отделе по налогообложению физических лиц работают 3 инспектора. Ежедневно декларации о доходах принимаются с 16 до 18 часов. Если плательщик заходит в отдел, когда все работники заняты, но до конца приема есть время, то он становится в очередь и ожидает приема. Если время приема закончено, то плательщик покидает отдел.
2. В мастерской бытового обслуживания работают 4 мастера. Если клиент заходит в мастерскую, когда все мастера заняты, то он уходит из мастерской, не ожидая обслуживания. Среднее число клиентов, обращающихся в мастерскую в течение часа, равно 25, а среднее время обслуживания одного клиента мастером равно 6 минутам. Определить 1) вероятность того, что клиент получит отказ; 2) вероятность того, что клиент будет обслужен; 3) среднее число клиентов, обслуживаемых мастерской в течение часа; 4) среднее число занятых мастеров.
Вариант 2
1. Определить класс СМО по следующим основаниям: а) по характеру поступления заявок на обслуживание; б) по характеру поведения заявки в системе; в) по ограничению потока заявок; г) по числу каналов обслуживания.
Частная компания имеет 5 вертолетов для коммерческих перевозок. Эти вертолеты обслуживаются двумя инженерами-техниками. Профилактические осмотры осуществляются раз в неделю в порядке очередности. В случае поломки какого-либо вертолета сначала выполняются ремонтные работы по устранению его неполадок и только потом плановый профилактический осмотр.
В парикмахерской работают 3 мастера. Если клиент заходит в парикмахерскую, когда все мастера заняты, то он уходит из мастерской, не ожидая обслуживания. Среднее число клиентов, обращающихся в парикмахерскую в течение часа, равно 12, а среднее время обслуживания одного клиента мастером равно 15 минутам. Определить 1) вероятность того, что клиент получит отказ; 2) вероятность того, что клиент будет обслужен; 3) среднее число клиентов, обслуживаемых парикмахерской в течение часа; 4) среднее число занятых мастеров.Контрольная работа № 2
Вариант 1
Таможенный пропускной пункт обслуживает погранзастава из 7 пограничников. Время, которое каждый пограничник тратит на досмотр груза в среднем равно 20 минутам. Количество машин, прибывающих к таможенному пункту за час, в среднем равно 15. Определить основные характеристики СМО (вероятность того, что все пограничники свободны, вероятность того, что в очереди находится k машин, среднее число заявок, находящихся в очереди, среднее время пребывания заявки в очереди, среднее время пребывания заявки в системе, среднее время обслуживания одной заявки).2. Два рабочих обслуживают группу из 8 станков. В среднем каждый станок останавливается раз в час. Обслуживание 1 станка занимает у рабочего в среднем 10 минут. Найти среднее число неисправных автоматов, среднее число автоматов в очереди, ожидающих ремонта, среднее число свободных рабочих. Какова вероятность того, что не менее 3 станков находятся в рабочем состоянии.
Вариант 2
В железнодорожной кассе имеются 3 окна. Время, которое тратит кассир на обслуживание одной пассажира, равно 5 минутам, пассажиры подходят к кассе, в среднем, по 15 человек в час. Найти 1) вероятность того, что все кассиры свободны; 2) среднее число занятых кассиров; 3) среднее число пассажиров в очереди; 4) среднее число пассажиров у касс; 5) среднее время, которое пассажир проводит в очереди; 6) среднее время, которое пассажир тратит на приобретение билета. В кооперативе по ловле рыбы имеется 7 катеров, для ремонта которых используется два дока. Док может принять для ремонта только один катер. В среднем на ремонт 1 катера уходит 10 дней (1/3 месяца). Каждый функционирующий катер выходит из строя в среднем 2 раза в месяц. Найти 1) вероятность того, что оба дока свободны; 2) среднее число занятых доков; 3) среднее число катеров в очереди на ремонт; 4) среднее время, которое катер проводит в очереди; 5) среднее время от выхода катера из строя до завершения ремонта. Какова вероятность того, что не менее 4 катеров находятся в рабочем состоянии.Контрольная работа № 3
Вариант 1.
1. Ремонтная бригада на трубопроводе состоит из 6 человек и работает по плану, в котором установлена очередность объектов, нуждающихся в профилактике и ремонте. Бригада выезжает на объект в полном составе и переходит на следующий объект только после окончания работ на предыдущем. В среднем за неделю поступает одна заявка. Одни рабочий мог бы выполнить полный объем работ, в среднем, за две недели. Найти среднее время, необходимое бригаде для проведения работ на одном объекте.
Транспортная фирма, имеющая в своем распоряжении 7 машин, принимает заявки на перевозку урожая различных культур. В среднем, за рабочий день (12 часов) поступает 5 заявок. Время погрузки, доставки к хранилищу и разгрузки для одной машины, в среднем занимает 9 часов. Контора не принимает заявок на перевозку от хозяйств, пока не выполнить текущий заказ. Найти 1) вероятность того, что очередная заявка получит отказ; 2) вероятность того, что заявка будет обслужена; 3) среднее число заявок, которые фирма может обслужить за день.Вариант 2.
Бригада грузчиков из 7 человек работает на разгрузке грузовиков, прибывающих на овощную базу. Разгрузка одной машины производится всей бригадой, а машина, прибывающая в момент разгрузки, ставится в очередь. В среднем на базу за 2 часа прибывают три машины. Работая один, грузчик разгружает машину за 5 часов. Оценить эффективность такой организации разгрузки с точки зрения времени, затрачиваемого на разгрузку одной машины. Транспортная фирма, имеющая в своем распоряжении 6 машин, принимает заявки на перевозку урожая различных культур. В среднем, за рабочий день (12 часов) поступает 4 заявки. Время погрузки, доставки к хранилищу и разгрузки для одной машины, в среднем. Занимает 10 часов. Контора, помимо текущего заказа принимает 2 заявки на перевозку от хозяйств и обслуживает их по очереди. Найти 1) вероятность того, что очередная заявка получит отказ; 2) вероятность того, что заявка будет обслужена; 3) среднее число заявок, которые фирма может обслужить за день.Критерии оценивания контрольных работ № 1,2, 3:
Оценка «5» ставится за две решенные задач, оценка «4» - за одну решенную задачу и серьезное продвижение в другой, оценка «3» - за одну задачу, оценка «2» ставится, если ничего не решено.
Тесты не предусмотрены
Задания для практических и лабораторных занятий
(указываются примеры типовых заданий с указанием цели, решаемых задач, методические рекомендации, критерии оценивания)
Темы практических занятий.
7 семестр.
Занятие 1.
Тема: Дискретный марковский процесс. Граф процесса и его реализация.
Цель: Научить студентов строить модель ситуации и задавать ее в виде графа.
Методические рекомендации. Следует напомнить студентам необходимые сведения из теории вероятностей.
Примеры типовых заданий: [1], стр.18, задачи 1.1-1.3.
Занятие 2.
Тема: Дискретный марковский процесс с дискретным временем. Однородная Марковская цепь.
Цель: Знакомство с понятием переходных вероятностей. Научить пользоваться формулой перехода для вероятностей состояний на данном шаге.
Методические рекомендации. Следует напомнить студентам необходимые сведения из теории вероятностей и матричного умножения.
Примеры типовых заданий: [1], стр.33, задачи 2.1-2.3.
Занятие 3.
Тема: Марковская неоднородная цепь.
Цель: Знакомство с формулой перехода для вероятностей состояний в бдолее сложном случае.
Методические рекомендации. Следует напомнить студентам необходимые сведения из теории вероятностей и матричного умножения.
Примеры типовых заданий: [1], стр.44, задачи 3.1-3.2.
Занятие 4.
Тема: Дискретный марковский процесс с непрерывным временем.
Цель: Вывести и научить пользоваться системой уравнений Колмогорова.
Методические рекомендации. Следует напомнить студентам необходимые сведения из математического анализа и дифференциальных уравнений.
Примеры типовых заданий: .
Занятие 5.
Тема: Дискретный марковский процесс с непрерывным временем.
Цель: Научиться решать системы уравнений Колмогорова в конкретных случаях.
Методические рекомендации. Повторить правила составления систем уравнений Колмогорова по матрице плотностей.
Примеры типовых заданий: [1], стр.66, задачи 4.1-4.2.
Занятие 6.
Тема: Пуассоновский стационарный (простейший) поток событий.
Цель: Научиться работать с формулами, задающими основные характеристики простейшего потока.
Методические рекомендации. Повторить понятия математического ожидания и дисперсии.
Примеры типовых заданий: [1], стр.87, задачи 5.1-5.2.
Занятие 7.
Тема: Пуассоновский нестационарный поток событий.
Цель: Изучить основные характеристики нестационарного потока.
Методические рекомендации. Сравнить основные результаты для стационарного и нестационарного потоков.
Примеры типовых заданий: [1], стр.103, задачи 6.1-6.2.
Занятие 8.
Тема: Потоки Пальма и Эрланга.
Цель: Изучить потоки требований с ограниченным последействием.
Методические рекомендации. Сравнить основные результаты для простейшего потока и потока Эрланга.
Примеры типовых заданий: [1], стр.121, задачи 7.1-7.2.
Занятие 9.
Тема: Контрольная работа.
8 семестр
Занятия 1-2.
Тема: Изучение процесса обработки требований при условии, что поток требований является пуассоновскими.
Цель: Изучить связь плотности вероятности перехода из одного состояния в другое при наличии пуассоновского потока требований с интенсивностью этого потока.
Методические рекомендации. Повторить систему уравнений Колмогорова и процесс нахождения собственных значений матрицы.
Примеры типовых заданий: [1], стр.125, пример 8.1.
Занятия 3-4.
Тема: Предельные вероятности однородной марковской цепи.
Цель: Научиться находить предельные вероятности при помощи матрицы переходных вероятностей.
Методические рекомендации. Повторить или вкратце обрисовать теорию положительно определенных матриц.
Примеры типовых заданий: [1], стр.151, задачи 9.1-9.3.
Занятие 5.
Тема: Предельные вероятности марковского процесса с непрерывным временем.
Цель: Научиться находить предельные вероятности при помощи матрицы переходных вероятностей.
Методические рекомендации. Повторить или вкратце обрисовать теорию положительно определенных матриц.
Примеры типовых заданий: [1], стр.163, задачи 10.1-10.2.
Занятия 6-7.
Тема: Одноканальная СМО с отказами.
Цель: Научиться находить вероятностные характеристики данного типа СМО.
Методические рекомендации. Повторить материалы предыдущих занятий.
Примеры типовых заданий: [2], стр.47, задачи 3.1-3.3.
Занятия 8-9.
Тема: Многоканальная СМО с отказами.
Цель: Научиться находить вероятностные характеристики данного типа СМО, составлять систему уравнений Эрланга и пользоваться формулой Литтла. .
Методические рекомендации. Повторить систему уравнений Колмогорова.
Примеры типовых заданий: [2], стр.65, упражнения 4.1-4.3.
Занятия 10-11.
Тема: Одноканальная СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди.
Цель: Изучение общих процессов гибели и размножения. Научиться находить вероятностные характеристики данного типа СМО.
Методические рекомендации. Повторить материалы предыдущих занятий.
Примеры типовых заданий: [2], стр.86, задачи 5.1-5.3.
Занятие12.
Тема: Контрольная работа.
Занятия 13-14.
Тема: Одноканальная СМО с ожиданием без ограничения на длину очереди.
Цель: Научиться находить вероятностные характеристики данного типа СМО.
Методические рекомендации. Повторить нахождение предельных вероятностей и формулу Литтла.
Примеры типовых заданий: [2], стр.94, задачи 6.1-6.2.
Занятия 15-16.
Тема: Многоканальная СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди.
Цель: Изучение общих процессов гибели и размножения. Научиться находить вероятностные характеристики данного типа СМО.
Методические рекомендации. Повторить материалы предыдущих занятий.
Примеры типовых заданий: [2], стр.111, задачи 7.1-7.3.
Занятия 17-18.
Тема: Многоканальная СМО с ожиданием без ограничения на длину очереди.
Цель: Научиться находить вероятностные характеристики данного типа СМО.
Методические рекомендации. Повторить нахождение предельных вероятностей для общих марковских цепей.
Примеры типовых заданий: [2], стр.122, задачи 8.1-8.3.
Занятия 19-20.
Тема: Многоканальная СМО без ограничения на длину очереди, но с ограничением на время ожидания.
Цель: Научиться находить вероятностные характеристики данного типа СМО.
Методические рекомендации. Повторить признак сходимости Даламбера, процессы гибели и размножения, пуассоновский процесс.
Примеры типовых заданий: [2], стр.145, упражнения 9.1-9.2.
Занятия 21-23.
Тема: Замкнутые одноканальная и многоканальная СМО.
Цель: Научиться находить вероятностные характеристики данного типа СМО.
Методические рекомендации. Повторить процессы гибели и размножения, пуассоновский процесс.
Примеры типовых заданий: [2], стр.167, упражнения 10.1-10.2, с.186, упражнения 11.1-11.2.
Занятие 24.
Тема:Контрольная работа.
В каждой из лабораторных работ задаются необходимые параметры закона распределения или схемы страхования, а от студента требуется описать алгоритм, представить код программы и результаты расчетов, проинтерпретировать полученные результаты.
Некоторые темы, ввиду отсутствия лабораторных занятий в 8 семестре, рассматриваются сначала в 7-м семестре на лабораторных, а затем соответствующая теория более подробно изучается в 8-м семестре.
Перечень литературы, используемой для проведения практических занятий:
а) Основная литература:
Лабскер моделирование в финансово-экономической области. --: Альпина, 2002. – 224 с. Лабскер массового обслуживания в экономической сфере / , – М.: Юнити, 1998.3. Абланская -математическое моделирование: учебник / и др. 2-е изд., -- М.: Экзамен, 2006. – 798[2] с.
б) Дополнительная литература:
1. Ширяев , В 2-х тт. Т.1,2, изд.4, доп. и перераб. - М., Наука, 2004. 928 с.
2. Бабешко моделирование финансовой деятельности. – М.: Изд-во «КноРус», 2011.
3. Боровков статистика. 3-е изд., испр. - М.: Физматлит, 2007. – 703 с.
4. Боровков вероятностей. Изд.5. - М.: Физматлит, 2009. – 656 с.
еория массового обслуживания. – М., Машиностроение, 1979.
3.2.Промежуточная аттестация
.
Список вопросов к устному экзамену и/или зачету7 семестр, вопросы к зачету
Марковские процессы, граф состояний системы.
Марковская однородная цепь, вероятности состояний и переходные вероятности, связь между ними.
Неоднородная марковская цепь, связь вероятностей состояний и переходных вероятностей в этом случае.
Дискретный марковский процесс с непрерывным временем. Уравнения Колмогорова.
Простейший поток событий, его характеристики.
Поведение интервала между двумя соседними событиями для простейшего потока.
Нестационарный пуассоновский поток и его характеристики.
Потоки Пальма и Эрланга, вероятностные характеристики потока Эрланга.
8 семестр, вопросы к экзамену
Теорема Фрая.
Интенсивность и параметр потока, соотношение между ними для общего стационарного потока.
Лемма о полуаддитивной функции. Определение параметра потока.
Асимптотическое поведение вероятностей состояний при стремлении длины промежутка времени к нулю.
Уравнения для стационарного потока без последействия.
Функции Пальма, их существование.
Характеризация простейших потоков среди стационарных потоков без последействия. .
Функции распределения потоков типа P.
Теорема Пальма для суммарного потока.
Уравнение Чепмена-Колмогорова.
Связь предельного поведения вероятностей состояний и переходных вероятностей.
Теорема Маркова.
Предельные вероятности однородной марковской цепи.
Одноканальная СМО с отказами.
Многоканальная СМО с отказами.
Одноканальная СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди.
Одноканальная СМО с ожиданием без ограничения на длину очереди.
Многоканальная СМО без ограничения на длину очереди, но с ограничением на время одидания.
Многоканальная СМО с ожиданием без ограничения на длину очереди.
Многоканальная СМО без ограничения на длину очереди, но с ограничением на время одидания.
Замкнутые одноканальная и многоканальная СМО.
Методические рекомендации по подготовке и процедуре осуществления контроля.
Промежуточная аттестация по дисциплине проводится в устной форме в виде зачета в 7 семестре и экзамена в 8 семестре. Подготовка студента к прохождению промежуточной аттестации осуществляется в период лекционных, практических и лабораторных занятий, а также в специально отведенное перед аттестацией время.
Во время подготовки студент пользуется конспектами лекций, основной и дополнительной литературой.
Критерии оценивания.
Во время аттестации по зачету или экзамену студент должен представить ответ на вопросы билета, дать необходимые определения, доказать требуемые теоремы, описать пошагово рассматриваемые алгоритмы. Преподаватель вправе задавать дополнительные вопросы по всему курсу, в том числе и вопросы, связанные с темами лабораторных и практических занятий.
Во время ответа студент должен продемонстрировать знание основных методов математической теории страхования, понимание логических взаимосвязей между разделами курса, умение решать конкретные задачи и доказывать сформулированные утверждения.
Полнота ответа определяется показателями оценивания планируемых результатов обучения (раздел 2).
Курсовых работ и контрольных заданий не предусмотрено.
ФОС для проведения промежуточной аттестации одобрен на заседании кафедры теории функций и стохастического анализа(протокол № 2 от 6 сентября 2016 года).
Автор: доцент
