В. Б. ГАМАНЮК, Н. Г. НЕДОГРЕЕВА, Ф. А. БЕЛОВ

ИССЛЕДОВАНИЕ СПЕКТРА ТОКА В СОЛЕНОИДЕ

С ФЕРРОМАГНИТНЫМ СЕРДЕЧНИКОМ

И КОНЕЧНЫМ АКТИВНЫМ СОПРОТИВЛЕНИЕМ ОБМОТКИ

В общем случае временная зависимость тока в цепи соленоида с ферромагнитным сердечником (рис. 1), подключенного к источнику синусоидального напряжения с нулевым внутренним сопротивлением, описывается уравнением:

  u0sinщt  (1)

Здесь Ц – потокосцепление, равное Ц = NSB, B – индукция магнитного поля внутри соленоида, а S и N его сечение и число витков в обмотке соответственно.

Трудности в решении уравнения (1) обусловлены тем, что магнитная проницаемость ферромагнетиков является функцией тока i. Её вид определяется свойствами материала сердечника.

Анализ реальных кривых намагничения ферромагнетиков на основе соединений железа показал [1] что в отсутствие насыщения B(H) весьма точно аппроксимируется выражением B(H) = . Для соленоида H = ni, где n – число витков обмотки на единицу длины. Таким образом,

  B(H) =   (2)

Используя (2), уравнение (1) можно записать в виде:

  sinщt – qi  (3)

где p =, q =.

Если активным сопротивлением соленоида можно пренебречь, то q = 0  и (3) существенно упрощается. Такой случай рассмотрен в работах [1,2]. При этом для тока получено выражение

  i0(t) = i0m (3cosщt + cos3щt)  (4)

где iom = – p3 / 4щ3.

Результаты расчетов по формуле (4) хорошо согласуются с аналогичными данными, полученными другими методами [3,4]. Данное обстоятельство позволяет использовать (4) как нулевое приближение решения уравнения (3) по параметру q. Тогда для любого приближения может быть использовано соотношение:

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

  sinщt – qim  (5)

Вид (5) и тот факт, что нулевое приближение содержит только гармонические составляющие, дает основание считать, что в рамках использованной аппроксимации B(H) первое, второе и остальные приближения всегда могут быть выражены через элементарные функции. Возникающие при этом затруднения будут только вычислительного характера. Это означает, что уравнение (3) может быть решено с любой заданной точностью.

Для первого приближение i1(t) имеем:

  = p sin щt – qi0 = p sinщt + (3cosщt + cos3щt)  (6)

Интегрирование (6) не представляет труда. В результате получим:

  cosщt + (9sinщt+ sin3щt)  (7)

Поскольку по цепи постоянный ток не протекает, константа интегрирования равна нулю.

После возведения в куб обеих частей (7) и несложных преобразований, выражение для i1(t) принимает вид:

  i1(t) = –щt.  (8)

Здесь

s = ,

Таким образом, из (8) следует, что спектральный состав тока зависит от величины активного сопротивления соленоида: теперь в нем содержатся нечетные гармоники более высокого, чем третий, порядков. Попутно заметим, что при R = 0 первое приближение превращается в нулевое, что в определенной степени подтверждает продуктивность используемого метода решения (3).

На основании формул, полученных для нулевого и первого приближений, легко видеть, что каждое im+1 является кубом суммы того или иного числа нечетных гармоник. После выполнения этой операции im+1 будет преобразовано в сумму слагаемых вида:

  щt+щt+щt+  (9)

Если воспользоваться известной формулой:

  cos (б + в) + cos (б – в) = 2 cos б cos в  (10)

для двух первых сомножителей в (9), то (9) будет представлено двумя слагаемыми, каждое из который содержит произведение нечетной и четной составляющих. Повторное применение (10) к полученному результату, в конечном счете, переводит (9) в комбинацию четырех нечетных гармоник. Следовательно, спектр тока в рассматриваемой цепи будет содержать только нечетные гармоники.

Помимо первого, авторами было получено и второе приближение i2(t). Анализ результатов показал, что при значениях параметра R/XL0~101, где XL0=щL0= щм0N2S / l, нулевое, первое и второе приближения практически совпадают. До значений R/XL0 ~ 103 допустимо ограничиваться первым приближением. Для R/XL0 ≥ 104 следует использовать второе приближение, поскольку расхождение между первым и вторым приближениями становится заметным.

На рис. 2 представлены результаты расчетов для нулевого, первого и второго приближений при R / XL0 = 1,0 • 104. Там же для сопоставления размещен условный график питающего соленоид напряжения. Нулевому приближению соответствует тонкая сплошная линия, первому – пунктир, второе выделено жирной линией.

Рис.2

Из рис. 2 видно, что по мере увеличения вклада активной составляющей в импеданс соленоида происходит изменение формы кривой тока и смещение её пика к максимуму питающего напряжения.

_____________________

1. , Белов спектра тока в соленоиде с ферромагнитным сердечником: Сб. научных ст. – Саратов: Центр «Наука», 2009 – С. 15-17 с.

2. , , Белов нелинейных явлений в цепях переменного тока на основе математических моделей кривых намагничения: Материалы Международной научно-практической конференции «Молодежь и наука: реальность и будущее». – Невинномысск, 2010.

3. Евсюков . М.: Просвещение, 1979. – 248 с.

4. Бессонов основы электротехники: электрические цепи. М.: Высш. школа, 1978. – 528 с.