Решения олимпиадных заданий.(Якубо Дмитрий)
1. Отец и сын решили перемерить шагами расстояние между двумя деревьями, для чего отошли одновременно от одного и того же дерева. Длина шага отца-70 см, сына - 56см. Найти расстояние между этим деревьями, если известно, что следы их совпали 10 раз.
Решение
НОК (70 ; 56) =280.
Значит, первый раз следы совпали через 280см. Таких совпадений было 10, следовательно 280 · 10 =2800см=28м.
Ответ. Расстояние между деревьями равно 28м.
2. Первую четверть пути велосипедист ехал со скоростью 20 км/ч, вторую и третью четверти всего пути – со скоростью 24 км/ч и последнюю четверть – со скоростью только 12 км/ч. Найдите среднюю скорость движения велосипедиста на всем пути (ответ дать с точностью до 0,1 км/ч).
Решение
Чтобы найти среднюю скорость, надо весь путь разделить на всё время.
Пусть весь путь равен х км, тогда каждая часть пути равна 
х км.
Первую четверть пути велосипедист проехал за 
х :20=
х ч.
Вторую – за 
х :24= 
х ч.
Третью четверть тоже за 
х ч
Четвёртую – за 
х :12=
х ч.
Всё время равно 
х +
х+
х+
х =
ч
Средняя скорость равна х : 
≈ 18, 5 км/ч
Ответ. Ѵср ≈ 18, 5 км/ч
3. Представить 
в виде суммы трех дробей, числители которых равны 1.
Решение
Делители 12: 1, 2, 3, 4, 6
= 
+
+ 
= 
=
4. На сколько процентов увеличится полная поверхность куба, если каждое его ребро увеличить на 20%?
Решение
S= 6a2- площадь поверхности куба.
Если ребро увеличить на 20 %, то оно станет 1,2а. Значит S= 6·(1,2a)2= 6·1,44а2.
1,44=144%, т. е площадь увеличится на 44%.
Ответ. На 44%.
5. Найдите сумму 1+2+3+…+111.
Решение
2+111=113
3+ 110 = 113
4+109=113 и т. д. таких пар будет 50.
1+2+3+…+111= 1+50· 113= 6216.
Ответ. 6216.
6. Один фонтан наполняет бассейн за 2,5 часа, а другой - за 3,75 часа. За какое время наполняют бассейн оба фонтана?
Решение
Пусть весь бассейн 1, тогда скорость наполнения его первым фонтаном 
= 
, скорость наполнения вторым фонтаном 
= 
Общая скорость 
+
= 
Время наполнения бассейна обоими фонтанами равно 1:
=
=1,5ч
Ответ. 1,5 ч
7. Найдите угол между часовой и минутной стрелкой в 7 ч 38 мин.
Решение
Угол между отметкой 12 часов и отметкой 38 мин равен 360 : 60 · 38 = 6 · 38 = 228°.
Угол между отметками 12ч и 7ч равен 360:12 · 7 = 210°.
Часовая стрелка проходит за 1 минуту угол 360 : (12 · 60) = 0.5° значит в 7:38 часовая стрелка будет повёрнута в направлении
210 + 38 · 0.5 = 210 + 19 = 229°.
Угол между часовой и минутной стрелкой составит, соответственно, 229 - 228 = 1°.
Ответ 1°
8. Докажите, что при a=b+1 выполняется следующее тождество:
(a+b)(a2+b2)(a4+b4)…(a16+b16)=a32-b32
Решение.
Рассмотрим правую часть тождества. Разложим её на множители, применяя формулу сокращённого умножения.
a32-b32 =( a16-b16)( a16+b16)
a16-b16= ( a8-b8)( a8+b8)
a8-b8= ( a4-b4) ( a4+b4)
a4-b4= (a2-b2) (a2+b2)
a2-b2= (a-b)( a+b)
a32-b32 =(a-b)( a+b) (a2+b2) ( a4+b4) ( a8+b8) (a16+b16)= (b+1-b) (a+b) (a2+b2) ( a4+b4) ( a8+b8) (a16+b16)= (a+b) (a2+b2) ( a4+b4) ( a8+b8) (a16+b16)/
Правая часть равна левой, тождество доказано.
9. Улитка ползет по столбу высотой 10м. За день она поднимается на 5 м, а за ночь опускается на 4м. За какое время улитка доберется от подножия до вершины столба?
Решение.
В первый день улитка поднялась на 5 метров а за ночь опустилась на 4, тогда во второй день улитка начала ползти уже с высоты 1 метр проползла 5 на 4 опустилась. в третий день она снова проползла 5 метров и опустилась на 4 в итоге после третьего дня она была на высоте 3 метра, на 4 день она начала с 3 метров и в конце дня оказалась на высоте 4 метра. на пятый день она ползла еще 5 и снова опустилась на 4 что в конце дня составило 5 метров. Тогда получается что до вершины столба улитка доползла на 6 день так как в 6 день она начала ползти уже с высоты 5 метров а за день она проползает 5 метров.
Ответ. 6 дней
10. Разделить семь яблок поровну на 12 человек, не разрезая яблоки более чем на 4 части.
Решение.
Надо разделить 3 яблока на 4 части, каждый получит 
яблока, 4 яблока разделить на 3 части, каждый получит ещё 
яблока. Всего у каждого будет 
+
=
яблока
