Задачи

1.  Существует ли такое натуральное число n, что число 28 + 211 + 2n является полным квадратом?

Ответ: да, например, n = 12.

Решение. Воспользуемся формулой квадрата суммы. Подберём число n так, чтобы 28 было квадратом первого числа, 211 — удвоенным произведением первого числа на второе, а 2n — квадратом второго числа.

Тогда 28 + 211 + 212 =  (24)2 + 2 · 24 · 26 + (26)2 = (24 + 26)2

2. Найдите разность между числами

и.

Ответ: 200.

Решение.

.

3. Квадрат разбит прямыми на 25 прямоугольников. Площади некоторых из них указаны на рисунке (выполненном не в масштабе). Найдите площадь прямоугольника, отмеченного вопросительным знаком.

Ответ: 630.

Решение. Обозначим горизонтальные стороны прямоугольников через

a1 , a2 ,…, a5 , а вертикальные - через b1 , b2 ,… , b5 . Площадь прямоугольника равна произведению его сторон. Применяя эту формулу к «диагональным» прямоугольникам, получим

9 ∙ 8 ∙7 ∙ 6 ∙ 5 = .

Применяя ту же формулу к «поддиагональным» прямоугольникам получим

1 ∙ 2 ∙3 ∙ 4 = .

Разделив одно равенство на другое, получим a1 b5.

Это и есть искомая площадь. Сократив дробь, получим 630.

4. В турнире по футболу участвовало пять команд. Каждая  должна была сыграть с каждой ровно один матч. В связи с финансовыми трудностями организаторы некоторые игры отменили. В итоге оказалось, что все команды набрали различное число очков и ни одна команда в графе набранных очков не имеет нуля. Какое наименьшее число игр могло быть сыграно в турнире, если за победу начислялось три очка, за ничью – одно, за поражение – ноль?

Ответ: 6.

Решение. В турнире разыграно не менее 1+2+3+4+5=15 очков, а поскольку за игру команды в сумме набирали не более трех очков, то сыграно не менее пяти игр. Но пять игр не могло произойти, поскольку тогда все закончились бы чьей-то победой и не будет команды, набравшей одно очко. А за шесть игр это могло случиться, например, так: 1 и 2, 2 и 5, 4 и 5 сыграли вничью, а 3, 4, 5 выиграли у 1.

5.  В треугольнике ABC угол A равен 40◦, угол B равен 20◦, AB − BC = 4. Найдите длину биссектрисы угла C.

Ответ: 4.

Решение. Отложим на стороне AB отрезок BD, равный BC. Тогда треугольник BCD — равнобедренный с углом при вершине 20◦, поэтому углы при основании равны 80◦. Пусть CE — биссектриса треугольника ABC. Из условия следует, что ∠ACE = 60◦, поэтому ∠AEC = 180◦ − (40◦ + 60◦) = 80◦. Таким образом, в треугольнике  DEC равны два угла, поэтому он равнобедренный. Тогда угол при его вершине C равен 20◦, поэтому ∠ACD = 60◦ − 20◦ = 40◦. Значит, треугольник ACD также равнобедренный, следовательно, CE = CD = AD = AB − BC = 4.