ОЦЕНКА НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ОДНОМЕРНОЙ НЕОДНОРОДНОЙ ПОРИСТОЙ СТРУКТУРЫ
, ,
Казанский федеральный университет, г. Казань, Россия
РЕЗЮМЕ
Исследована одномерная модель параметризированной пористой структуры. Параметрами системы являлись степень эллиптичности пор и угол направления наибольших полурадиусов пор относительно нормали к линии действия нагрузки. Были получены распределения деформаций в системе указанных параметров. Также был рассчитан коэффициент Пуассона в зависимости от параметров и механических констант материала.
Ключевые слова: костная ткань; тензор структуры; напряженно-деформированное состояние.
1. ВВЕДЕНИЕ
При решении задач по определению напряженно-деформируемого состояния (НДС) пористых структур необходимо учитывать структурные особенности материала[1-3, 8]. В настоящее время в практике задач биомеханики костной ткани нашло развитие описание структуры с помощью тензора структуры. В этом случае предполагается, что тензор структуры есть квадратичная форма, описывающая форму поры. В настоящее время построены физические соотношения, связывающие тензор напряжений и деформаций через упругие константы, тензор структуры и долю твердого объема материала [4-6]. Применительно к биомеханике костной ткани актуальной задачей является анализ НДС дистального участка костей нижнего пояса конечностей [7]. В настоящей работе дистальный участок смоделирован стрежнем, нагруженным сжимающей силой и описываемым упомянутыми выше соотношениями. Актуальной задачей является оценка НДС в зависимости от характера пористой структуры и связь этой структуры с легко измеряемыми механическими макропараметрами.
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим балочную схему, нагруженную сжимающим усилием P. Пусть она равномерно заполнена порами таким образом, что пористость равна значению н0. При этом поры имеют эллиптическую форму с заданными полурадиусами и формируют угол р/2-б с линией действия приложенной силы. Сформулируем задачу напряженно-деформируемого состояния для такого стрежня. Очевидно, что в каждом сечении сохраняется постоянное напряжение:
,
где A - площадь поперечного сечения.
Для описания пористой структуры будем использовать тензор структуры. Дополним систему, введя физические соотношения в виде[4]:
где e – изменение доли твердого объема кости, 
- девиатор тензора структуры, gi – упругие константы.
По определению тензор структуры нормирован таким образом, что его след равен единице, следовательно, след его девиатора равен нулю.
Закон изменения пористости был использован в следующем виде:
,
где Ksp - объемный модуль упругости скелета с порами, Ks - объемный модуль упругости скелета, н и н0 – актуальная и начальная пористости соответственно, уi - сжимающее напряжение.
При исследовании были введены следующие параметры: з=Ksp/Ks, л=r1/r2, где з - характеризует потерю объемной жесткости материала, λ - эллиптичность пор. Тогда тензор структуры можно записать в виде:
Поворот тензора H осуществляется с помощью умножения на матрицу поворота, в которой угол поворота б является параметром системы.
Целью исследования является оценка деформаций при различных параметрах системы. При численном моделировании использовались следующие значения для констант [5]: g1 = 154.9 ГПа, g2 = 1147 ГПа, g3 = 612.9 ГПа, g4 = 4536 ГПа, g5 = 2384 ГПа, g6 = 510.8 ГПа, а также оценивалась чувствительность решения к отклонению от указанных констант gi при их изменении в пределах 20%.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Были проведены расчеты для единичной нагрузки и построены диаграммы для компонент тензора деформаций в осях λ-б. В предельном случае λ=1 (круглые поры) решение совпадает с известным: отсутствуют сдвиговые деформации и нет зависимости от параметра угла поворота. Анализируя продольные деформации можно отметить, что максимальных значений они достигают, когда пора наибольшим полурадиусом направлена вдоль линии действия нагрузки. Распределение поперечных деформаций симметрично относительно линии, направленной под углом б=р/4. Абсолютная величина деформаций возрастает при приближении к углу б=р/4. Что касается сдвиговых деформаций, то они достигают максимума в при б=р/6 и λ→0.
Для оценки макропараметров была построена зависимость коэффициента Пуассона материала в осях λ-б. При этом было отмечено, что полученная зависимость в случае круглых пор не зависит от параметров n, н0, Ks (но, очевидно, зависит от упругих констант gi) и стремиться к 0.2. Наибольшее значение коэффициента Пуассона достигается при б→р/2 и λ→0 и находиться в пределах 0.3-0.35 в зависимости от начальной пористости и упругих констант. Оценка чувствительности к упругим константам показала, что при занижении их на величину до 20% деформации увеличиваются на величину до 30%. При увеличении упругих констант на 20% деформации уменьшаются на 20%.
Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 16-04-00772
ЛИТЕРАТУРА
, , Саченков реконструкция внутренних органов с одним характерным размером на основе компьютерной томографии / Практическая медицина. 2013. № 1-2-1 (69). С. 22-24. , , Саченков платформонезависящая визуализация данных томографии / Научно-технический вестник Поволжья. 2013. № 4. С. 137-139. , , Саченков асептического некроза головки бедренной кости с использованием спиральной компьютерной и магнитно-резонансной томографии и применение математического моделирования при планировании операции по эндопротезированию тазобедренного сустава / Практическая медицина. 2012. № 8-2 (64). С. 63-68. , , Лохов начально-краевой задачи о перестройке трабекулярной костной ткани // Российский журнал биомеханики. 2012 . Т. 16, № 4 (58): 36–52 , , О приложении теории перестройки трабекулярной костной ткани // Российский журнал биомеханики. 2012 . Т. 16, № 4 (58): 53–72 , , Еловикова и развитие классической теории описания структуры костной ткани // Российский журнал биомеханики. 2008 . Т. 12, № 1: 69–89 , , Тихилов исследование влияния степени недопокрытия вертлужного компонента на несущую способность эндопротеза тазобедренного сустава / Российский журнал биомеханики. 2015. Т. 19. № 4. С. 330-343. Тверье В. М., Симановская Е. Ю., Еловикова А. Н., Няшин Ю. И., Киченко описание структуры костных тканей зубочелюстной системы человека // Российский журнал биомеханики. – 2007. – Т. 11, № 1. – С. 9–24.
1
- студент, Казанский федеральный университет, г. Казань, Россия; e-mail: *****@***com
Фаина Ахметовна Шигапова - Казанский федеральный университет, г. Казань, Россия; e-mail: fainashigapova. *****@***com
- к. ф.-м. н., Казанский федеральный университет, г. Казань, Россия; e-mail: *****@***ru
