Методика определения конечных сумм

УДК

МЕТОДИКА ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОНЕЧНЫХ СУММ

Балтийская государственная академия РФ

Процесс развития математики, как и любой другой науки, осуществлялся от «простого к сложному». Сначала были выведены формулы для расчета конечных сумм. Они и сегодня имеют большое прикладное значение. После разработки теории пределов появилась возможность вычисления точных сумм сходящихся числовых рядов, которые имеют в своём составе бесконечное число слагаемых. Это был большой шаг вперёд в развитии математики.  Все математики понимали, что бесконечная сумма собственно расходящегося ряда не есть число, а сумма неопределённого ряда (хотя бы даже и ограниченного) отсутствует. Известно, что ряд в зоне своей расходимости не воспроизводит функцию, из разложения которой он получен. Это побуждало даже таких великих учёных как Эйлер, Абель, Пуассон искать, так называемые обобщённые способы вычислений сумм рядов, дающих сумму равную значению функции в этой точке. В принципе, такая постановка вопроса некорректна изначально .

Определение конечных сумм

Определение закономерных конечных сумм непосредственным суммированием их слагаемых представляет трудоёмкую рутинную работу. Формулы, позволяющие вычислять значения закономерных конечных сумм по их известным параметрам, существенно упрощают и ускоряют эту процедуру. К числу наиболее широко известных и применяемых формул для вычисления конечных сумм относятся следующие формулы: Формула суммы арифметической прогрессии Формула суммы геометрической прогрессии, а так же формулы конечных сумм вида :

;

;

;

;

;

;  (1)

;

;

;

       ;

Формулы конечных сумм вида :

;

;

;

;

;

;  (2)

;

;

;

;

Формулы конечных сумм вида  :

;

;

;

;

;

;  (3)

;

;

;

       

В этих формулах частичные суммы двузначны: при нечётном верхнем пределе суммирования знаки, а так же коэффициент последнего члена полинома, берутся по верхней строке, а для чётных пределов – по нижней.

Формулы конечных сумм вида  :

;

;

;

;

;

;  (4)

;

;

;

;

В этих формулах частичные суммы, как и в предыдущем случае, двузначны. При нечётном верхнем пределе суммирования знаки, а так же коэффициент последнего члена полинома, берутся по верхней строке, а для чётных пределов – по нижней.

Все вышеприведённые формулы могут использоваться как исходный материал для конструирования рядов с общим членом ряда в виде степенного полинома до 10-й степени включительно, при этом сразу же находится и выражение его суммы. 

Пример. Найти формулу для вычисления конечной суммы вида

Используя первую, вторую и третью формулы в выражениях (1), получим формулу для расчёта заданной конечной суммы.

Таким образом, для отыскания любой закономерной степенной конечной суммы необходимо и достаточно знать выражение общего члена этой суммы. Для вычисления конечных сумм могут оказаться так же весьма полезными следующие формулы:

Здесь нетрудно заметить, что выражения под знаками сумм содержат биномиальные коэффициенты. Если конечные закомерные суммы продолжить до бесконечности, записав в качестве верхнего предела ∞, получим расходящийся ряд. Эта же сумма тривиальным образом получается из формулы суммы. На первый взгляд может показаться, что из таких расходящихся рядов и формул сумм не возможно извлечь никакой пользы, однако это не так. Как уже показывалось ранее при анализе арифметической прогресси деление расходящихся рядов может дать вполне определенный результат.

В самом общем виде предельный переход при n→∞ позволяет переходить от конечных сумм к рядам (бесконечным суммам с той же закономерностью следования членов).