Задача 1. Найти производные функций 
.
Применяем формулу для производной степенно-показательной функции.
Задача 2. Найти производные функций, заданных параметрически и неявно.
Дифференцируем обе части по x:
Отсюда находим 
Задача 3. Найти производные второго порядка функций 
.
Задача 4. Написать уравнения касательной и нормали к графику функции 
в точке с абсциссой 
.
Уравнение касательной к графику функции 
в точке с абсциссой 
:
Уравнение касательной:
Уравнение нормали к графику функции 
в точке с абсциссой 
:
Задача 5. Найти дифференциалы первого и второго порядков функции 
.
Дифференциал первого порядка:
Производная второго порядка:
Дифференциал второго порядка:
Дифференциал первого порядка:
Производная второго порядка:
Дифференциал второго порядка:
Задача 6. Вычислить с помощью дифференциала.
С помощью дифференциала значение функции в точке 
вычисляется по формуле: 
(точка 
предполагается удобной для вычислений)
Рассмотрим функцию 
и точку 
. Производная:
Таким образом,
Рассмотрим функцию 
и точку 
. Производная:
Таким образом,
Задача 7. Найти наибольшее и наименьшее значения функции 
на отрезке 
.
Функция всюду непрерывна, в частности на 
Производная функции:
Это значение находится вне пределов отрезка 
, значит наибольшее и наименьшее значения функции на этом отрезке принимаются на его границах. Так как производная положительная на этом отрезке, то функция монотонно возрастает на нём, значит наименьшее значение принимается на левой границе, наибольшее – на правой.
Наименьшее значение:
Наибольшее значение:
Функция всюду непрерывна, в частности на 
Производная функции:
Решаем уравнение:
Подходит только корень 
В точке 
производная равна нулю и меняет знак с “-” на “+“, значит в этой точке функция имеет минимум. Значит наименьшее значение функции на отрезке 
равно:
Наибольшее значение достигается на одной из границ отрезка:
Задача 8. Решить задачу геометрического или физического содержания.
Найти положительное число, которое при сложении с ему обратным даёт наименьшую сумму.
Рассмотрим функцию (при 
):
Производная:
Отсюда видно, что при 
производная меняет знак следующим образом:
в интервале 
она отрицательна, в точке 
равна нулю и в 
- положительна. Значит в точке 
функция имеет минимум при 
. Так как он единственный при положительных значениях аргумента, то наименьшее значение функции достигается при 
.
Итак, положительное число, которое при сложении с ему обратным даёт наименьшую сумму, равно единице (а эта сумма равна 2).
