Исследование бифуркаций периодических решений системы двух связанных осцилляторов

УДК 517.9

ИССЛЕДОВАНИЕ БИФУРКАЦИЙ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ ДВУХ СВЯЗАННЫХ ОСЦИЛЛЯТОРОВ

Кафедра дифференциальных уравнений

Кемеровский государственный университет

*****@***net

Исследуются бифуркации периодических решений автономной системы дифференциальных уравнений:

Здесь у1, y2, y3, y4 искомые функции независимой переменной t; б, в, г, д, м – числовые параметры. Система представляет из себя модель двух осцилляторов, связанных друг с другом через члены г·y3 и в·y2, входящие в первое и третье уравнения соответственно. В [1] было показано, что в некотором интервале значений параметров, от тривиального решения системы (1) ответвляется устойчивое периодическое решение, которое при дальнейшем изменении параметра б претерпевает бифуркацию, в ходе которой цикл переходит в ортогональную плоскость (Рис.1). При значении параметра, близком к бифуркационному, были обнаружены траектории, сходящиеся к многообразию напоминающему устойчивый инвариантный тор. Целью настоящей работы является численное исследование описанной бифуркации. Для исследования используется метод, состоящий в том, что периодическому решению сопоставляется неподвижная точка отображения последования Пуанкаре [2], определенного на некотором многообразии трансверсальном к траекториям системы. Неподвижная точка отображения Пуанкаре может быть построена численно с использованием какого либо итерационного метода. В [3] описано применение метода Пуанкаре к исследованию бифуркации удвоения периода цикла в системе уравнений Ресслера. Эта же методология применяется к исследованию поставленной задачи, для решения которой написана программа на языке Fortran. В качестве многообразия используется координатная гиперплоскость трансверсальная циклам (Рис.1) как до, так и после бифуркации. Для построения неподвижной точки используется итерации метода Ньютона, при этом численно строится дифференциал отображения Пуанкаре (матрица монодромии) и вычисляются его собственные значения – мультипликаторы цикла, позволяющие судить о характере его бифуркации.

Литература

Кузенкова бифуркаций тривиального решения системы двух связанных осцилляторов / – Материалы VIII Международной научнойконференции «Наука и образование» - Белово, 2010. быкновенные дифференциальные уравнения / Д. Эроусмит, К. Плейс – М.: Мир, 1986. , Борисов и численное исследование бифуркаций периодических решений ОДУ / , / Материалы XIV Всероссийской научно-практической конференции «Научное творчество молодежи». Издательство Томского университета. 2010. - C. 10-13.

Научный руководитель – канд. физ.-мат. наук, доцент