Дано.
Рис.1
б = 1,9 ; а = 0,4 м ; b = 0.8 м ; с = 0,4 м ; q = 50 кН/м ; [у] = 20МПа;
Рис. 2
2. Разобьём брус на участки, как показано на рис.2. Границами участков являются сечения, в которых приложены действующие внешние силы (в нашем случае начало и конец действия равномерно – распределенной нагрузки q), а также места изменения размеров поперечного сечения стержня. Расположим стержень вдоль оси Z.
Правило знаков;
Если внешняя сила направлена от сечения, то она записывается со знаком «+», если внешняя сила направлена к сечению, то со знаком «–». При этом «+» соответствует растяжению, а «–» – сжатию.
В нашем случае стержень разбивается на три участка (см. рис.2)
3. С помощью метода сечений определим продольную силу N на каждом участке.
Участок 1.
Рис.3
Рассекаем брус на две части, так что бы сечение находилось пределах первого участка (см. рис. 3), и рассмотрим равновесие левой отсеченной части. Границы участка 1 0 ≤ z ≤ 0.4. Условие равновесия:
Тогда продольная сила определяется по формуле:
Как видим, продольная сила N1 описывается линейной зависимостью, следовательно достаточно определить продольную силу в начале и в конце участка. В промежутке продольная сила изменяется в пределах двух полученных значений, соединенных на эпюре N прямой линией.
Тогда, при z = 0 N1 = 0
при z = 0.4 N1 = 50·0.4 = 20 кН
Участок 2.
Так же рассекаем брус на две части сечением, находящимся в пределах второго участка, и рассмотрим равновесие левой, осеченной, части стержня (см. рис.4) Границы участка 0 ≤ z ≤ 0.8 Условие равновесия:
УN = 0
УN = N2 - q·a + q·z = 0
Тогда продольная сила определяется по формуле:
N2 = q ·a - q ·z
Рис.4
Для продольной силы N2 справедливы те же рассуждения о линейности, что и для силы N1.
Тогда при z = 0 N2 = 50 ·0.4 = 20 кН
при z = 0.8 N2 = 50 ·0.4 - 50·0.8 = - 20 кН
Участок 3
Так же рассекаем брус на две части сечением, находящимся в пределах третьего участка, и рассмотрим равновесие левой части стержня (см. рис.5)
Рис.5
Границы участка 0 ≤ z ≤ 0.4. Условие равновесия:
УN = 0
УN = N3 - q ·a + q ·b = 0
Тогда продольная сила определяется по формуле:
N3 = q ·a - q ·b
Тогда при z = 0 N3 = 50 ·0.4 - 50 ·0.8 = - 20 кН
при z = 0.4 N3 = 50 ·0.4 - 50 ·0.8 = - 20 кН
Реакция защемления также равна усилию на третьем участке.
R = N3 = - 20 кН
По полученным результатам строим эпюру продольных сил (см. рис. 7)
4. Построение эпюры нормальных напряжений.
Нормальные напряжения при растяжении (сжатии) будем определять по формуле:
у – напряжение при растяжении (сжатии) в МПа (1 МПа = 0,1кН/см. кв);
N – усилие в стержне в кН;
А – площадь сечения стержня в см. кв.
Найдем площади участков стержня, выразив их через d.
Тогда
Вычислим нормальные напряжения по участкам.
Участок 1
При z = 0
при z = 0.4
Участок 2
При z = 0
При z = 0.8
Участок 3
При z = 0
При z = 0.4
Наибольшие по абсолютной величине, но обратные по знаку, напряжения находятся на концах второго участка. По этим значениям определим диаметр стержня.
Принимаем d = 3,6 см
Тогда напряжения
Участок1
При z = 0
у = 0
при z = 0.4
Участок 2
При z = 0
При z = 0.8
Участок 3.
При z = 0
При z = 0.4
По полученным данным строим эпюру у ( см. рис.7).
5. Построение эпюры перемещений сечений стержня под нагрузкой.
Для построения эпюры перемещений необходимо определить удлинение (укорочение) каждого отдельного участка.
Удлинение (укорочение) определяем по формуле:
Дl - удлинение (укорочение) соответственного участка в мм;
у1 – нормальные напряжения в начале соответствующего участка в МПа;
у2 – нормальные напряжения в конце соответствующего участка в МПа;
Е – модуль упругости (величина, характеризующая деформационные
характеристики материала) в МПа
l – длинна соответствующего участка в мм.
Участок 1
Участок 2
Удлинение на втором участке будем находить как сумму удлинений
( эпюре у пересекает нейтральную ось, что говорит о наличии как удлинения, так и укорочения)
Участок 3
Знак «–» показывает, что соответствующий участок бруса стал короче.
Построение эпюры перемещений начинаем с сечения у заделки, т. к. его перемещение заведомо известно, оно равно нулю. Перемещение на границе участков 3 и 2 будет равно удлинению (укорочению) участка 3.
Перемещение сечения на границе участков 2 и 1 равно перемещению сечения на границе участков 3 и 2 плюс удлинение (укорочение) участка 2.
Перемещение сечения на границе участков на конце бруса , точка К, равно перемещению сечения на границе участков 2 и 1 плюс удлинение (укорочение) участка 1. Таким образом перемещение точки К = 0.
По полученным данным строим эпюру перемещений (см. рис. 7)
7. Построение эпюры распределения напряжений в опасном сечении.
Опасными сечениями являются сечения на концах второго участка.
упр = 19,66 МПа, улев = - 19,66 МПа ( рис. 6)
Рис. 6
Рис.7
