Задача №1
В конверте среди 25 карточек находится разыскиваемая карточка. Из конверта наудачу извлечены 6 карточек. Какова вероятность того, что среди них окажется нужная карточка?
Решение:
Вероятность того, что первая карточка искомая: р1 = 1/25.
Вероятность того, что вторая карточка искомая = произведению вероятности того, что первая оказалась другой, на вероятность того, что одна из 24 оставшихся – нужная:
Аналогично для всех других вынутых карточек.
Полная вероятность равна сумме Р = 6/25 = 0,24
Ответ: 0,24
Задача№2
В партии находятся 15 изделий: 10 изделий первого сорта, а 5 – второго. Наудачу одна за другой без возвращения в партию берутся 3 изделия. Найти вероятность того, что хотя бы одно изделие окажется второго сорта.
Решение:
Общее число возможных исходов равно числу способов, которыми из 15 изделий можно выбрать 3:
Число благоприятных исходов - среди выбранных изделий хотя бы одно (т. е. 1, 2 или 3) - второго сорта:
Вероятность того, что хотя бы одно изделие окажется второго сорта:
Ответ: 0,055
Задача №3
Два человека выполняют одну и ту же операцию над деталью, которая после этого поступает на общий конвейер. Вероятность ошибиться для первого рабочего равна 0,075, для второго – 0,09. Производительность второго рабочего вдвое больше, чем первого. Найти вероятность того, что поступившая на общий конвейер деталь будет иметь брак.
Решение:
По формуле полной вероятности вероятность события А - поступившая на общий конвейер деталь имеет брак:
,
где гипотеза Н1 – операцию выполнил первый рабочий, гипотеза Н2 – операцию выполнил второй рабочий. Поскольку производительность второго рабочего вдвое больше, чем первого, то:
и 
Ответ: 0,085
Задача №4
Имеется 4 заготовки для одной и той же детали. Вероятность изготовления годной детали из каждой заготовки равна 0,7. Найти закон распределения, математическое ожидания и дисперсию числа заготовок, оставшихся после изготовления первой годной детали. Построить функцию распределения. Определить вероятность того, что число оставшихся заготовок не менее двух.
Решение:
Случайная величина Х может принимать значения: 3 (годной оказалась первая же деталь), 2 (годной оказалась вторая деталь), 1 (годной оказалась третья деталь), 0 (годной оказалась только четвертая деталь или годных деталей не было вовсе)
Вероятность того, что первая деталь оказалась годной равна р1 = 0,7.
Вероятность того, что первая деталь негодная, а вторая годная, равна
р2 = 0,3⋅0,7 = 0,21.
Вероятность того, что первые две детали негодные, а третья годная, равна: р3 = 0,3⋅0,3⋅0,7 = 0,063.
Вероятность того, что первой годной деталью будет четвертая:
0,33⋅0,7 = 0,0189
Вероятность того, что все 4 детали негодные, равна 0,34 = 0,0081
р4 = 0,0189 + 0,0081 = 0,027
Закон распределения:
Х | 0 | 1 | 2 | 3 |
Р | 0,027 | 0,063 | 0,21 | 0,7 |
Математическое ожидание:
Дисперсия:
Функция распределения:
Вероятность того, что число оставшихся заготовок не менее двух,
Задача №5
Для непрерывной случайной величины задана плотность распределения f(x) или функция распределения F(x). Требуется построить графики плотности распределения и функции распределения, определив предварительно параметры α и β. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение. Вычислить вероятность того, что отклонение случайной величины от математического ожидания не более среднеквадратического отклонения.
Решение:
Поскольку на участке х>1 равна 1, то задана функция распределения.
Параметры определим из условий:
при 
, где 
⇒ 
⇒ 
⇒ А = 1/2
Задача № 6 (Вариант 9)
Случайное отклонение размера от номинала подчиняется нормальному закону распределения с параметрами а и δ. Записать формулу плотности распределения и построить график плотности. Вычислить таблицу функции распределения для значений хк = а+кδ, к=0, ±1, ±2, ±3 и построить график функции распределения.
Какой ширины должно быть поле допуска, чтобы с вероятностью не более α получилось деталь с размером вне поля допуска, если за середину поля допуска принять отклонение размера, равное математическому ожидании.
а | α | δ |
15мкм | 0,01 | 15мкм |
Решение:
k | x | F(x) | f(x) |
-3 | 12 | 0,42074 | 0,02607 |
-2 | 13 | 0,446965 | 0,026361 |
-1 | 14 | 0,473424 | 0,026537 |
0 | 15 | 0,5 | 0,026596 |
1 | 16 | 0,526576 | 0,026537 |
2 | 17 | 0,553035 | 0,026361 |
3 | 18 | 0,57926 | 0,02607 |
формула плотности распределения:
Функция распределения:
вероятность того, что диаметр детали отклонится от стандартного размера не более чем на ε:
ε = 2,58⋅15= 38,7 мкм
