Сборник задач по теме «Пирамида»
Выполнили: Золотухина Татьяна, 11г класс
Кульченко Юлия, 11г класс
Сборник задач по теме «Пирамида»
Свойства правильной пирамиды
1 уровень
1.В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 5, сторона основания равна 6. Найти угол между высотой пирамиды и боковой гранью, угол между боковым ребром и плоскостью основания, угол между боковой гранью и плоскостью основания, плоский угол при вершине.
2.В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 20, боковое ребро -25. Найти угол между высотой пирамиды и боковой гранью, угол между боковым ребром и плоскостью основания, угол между боковой гранью и плоскостью основания, угол между боковыми гранями, плоский угол при вершине.
2 уровень
3. В правильной треугольной пирамиде плоский угол при вершине равен 90°.
Найти угол между высотой пирамиды и боковой гранью, угол между боковым ребром и плоскостью основания, угол между боковой гранью и плоскостью основания, угол между боковыми гранями.
4. В правильной четырехугольной пирамиде плоский угол при вершине равен 50° , Найти угол между высотой пирамиды и боковой гранью, угол между боковым ребром и плоскостью основания, угол между боковыми гранями.
3 уровень
5. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно b, сторона основания равна - a, проведена секущая плоскость (SOB). Найти площадь секущей плоскости.
6. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 2, сторона основания равна 1,5. Найти расстояние от вершины основания до боковой грани.
Свойства пирамиды, все боковые ребра которой равны между собой.
1 уровень
7. В треугольной пирамиде SABC, все боковые ребра которой равны между собой в основании – прямоугольный треугольник, AC=b, BC = a. Угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 45° . Найти высоту пирамиды.
2 уровень
8. В треугольной пирамиде SABC, все боковые ребра которой равны между собой в основании равнобедренный треугольник, АС=ВС, АВ=6, СD – высота треугольника АВС, CD=9, SA= 13, SO – высота пирамиды. Найти SO.
3 уровень
9. В треугольной пирамиде SABC, все боковые ребра которой равны между собой: АВ=13, ВС=14, АС=15,<(SA, ABC)=45°; SO – высота. Найти SO.
Свойства пирамиды, все боковые грани которой равнонаклонены к плоскости основания.
1 уровень
10. В треугольной пирамиде SABC, все боковые грани которой равнонаклонены к плоскости основания, АВ=ВС=10, АС=12, <(АС)=45° .
Найти высоту пирамиды SO.
2 уровень
11. В треугольной пирамиде SABC, все боковые грани которой равнонаклонены к плоскости основания, <ACB=90° , AC=12, BC=16, <(AC)=60° . Найти SO.
3 уровень
12. В треугольной пирамиде SABC, все боковые грани которой равнонаклонены к плоскости основания, АВСD – трапеция, DC =4, АВ=16;
< (BC) =60° .
Некоторые свойства неправильных пирамид.
1 уровень
13. В неправильной пирамиде SABCD, АВ=ВС=АС, (SAB)┴(ABC),
<(АС)= <(ВС)= 60°. Найти <(SC, ABC).
2 уровень
14. В неправильной пирамиде SABCD, AB=BC=DC=SA=a;
(SAB)┴(ABC), (SAC)┴(ABC). Найти: <(ВС), S▲SBC
3 уровень
15. В пирамиде SABCD, AB=BC=AC=AD, AC=6, BD=8;
(SBD) ┴ (ABC), (SAC) ┴ (ABC), SH - высота, SH=12. Найти <(CD), <(SAB, SCD).
Сечение правильной пирамиды плоскостью
1 уровень
16.В правильной треугольной пирамиде SABC проведена секущая плоскость, проходящая через середины сторон АС и АВ и параллельная грани (SBC), <(CB)=ц. Найти площадь сечения.
17. В правильной треугольной пирамиде SABC проведена секущая плоскость, содержащая ребро АВ, равное 1, и перпендикулярная ребру SC. Высота пирамиды равна 4. Найти площадь сечения.
18. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD проведена секущая плоскость, проходящая через две противолежащие вершины основания и параллельная боковому ребру SD, SD=b, < (SA, ABC)=ц. Найти площадь сечения.
2 уровень
19. В правильной треугольной пирамиде SABC проведена секущая плоскость, параллельная ребру SC, проходит через середины сторон АС и ВС. Угол между ребром SA и плоскостью основания равен ц, АВ = а. Найти площадь сечения.
20. В правильной треугольной пирамиде SABC проведена секущая плоскость, перпендикулярная основанию и проходящая через середины ребер SC и SB.
АВ = а, <(АВ) = ц.
21. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD проведена секущая плоскость, проходящая через основание высоты пирамиды и параллельная боковой грани, АВ = а, < (CD)=ц.
3 уровень
22. В правильной треугольной пирамиде SABC проведена секущая плоскость,
Все ребра пирамиды равны а, SO –высота пирамиды и плоскость сечения проходит через основание высоты, параллельно ребрам SA и ВС. Найти площадь сечения.
23. В правильной треугольной пирамиде SABC проведена секущая плоскость,
перпендикулярная основанию и проходящая через середины ребер АС и АВ, АВ = а, <(SA, ABC) = ц. Найти площадь сечения.
24. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD проведена секущая плоскость, проходящая через вершину А основания и перпендикулярная ребру SC, AB=а, SO - высота, < BCO=30°. Найти площадь сечения.
Площадь поверхности и объем пирамиды, все боковые грани которой равнонаклонены к плоскости основания.
1 уровень
25. В пирамиде SABC все боковые грани равнонаклонены к плоскости основания, АВ=АС=39, ВС=30, <(BC)=30°. Найти площадь поверхности и объем пирамиды.
26. В пирамиде SABCD все боковые грани равнонаклонены к плоскости основания, ABCD - ромб, АВ = а, <BAD=60°, <(DC)=45°. Найти площадь поверхности и объем пирамиды.
27. В пирамиде SABCD все боковые грани равнонаклонены к плоскости основания, ABCD - трапеция, АВ=СD=4, <BAD=60°, <(CD)=45°. Найти площадь поверхности и объем пирамиды.
2 уровень
28. В пирамиде SABC все боковые грани равнонаклонены к плоскости основания, АВ=13,АС=15, ВС=14, <(BC)=45°. Найти площадь поверхности и объем пирамиды.
29. В пирамиде SABCD все боковые грани равнонаклонены к плоскости основания, ABCD - ромб, АВ = а, <BAD=б, <(DC)=ц. Найти площадь поверхности и объем пирамиды.
30. В пирамиде SABCD все боковые грани равнонаклонены к плоскости основания, ABCD - трапеция, СD=12, <A=90°, <D=30°, S бок. пов.=90 см2. Найти объем пирамиды.
3 уровень
31. В пирамиде SABC все боковые грани равнонаклонены к плоскости основания, АС=12, ВС=5, <(BC)=45°,<ACB=90°. Найти площадь поверхности и объем пирамиды.
32. В пирамиде SABCD все боковые грани равнонаклонены к плоскости основания, ABCD - квадрат, АВ = 8, <BAD=б, <(SC)=120°. Найти площадь поверхности и объем пирамиды.
33. В пирамиде SABCD все боковые грани равнонаклонены к плоскости основания, ABCD - трапеция, АВ=СD, ВС=а, АD=b, <(СD)=б. Найти площадь поверхности и объем пирамиды.
Объем пирамиды, все боковые ребра которой равны между собой
1 уровень
34. В пирамиде SABC все боковые ребра равны между собой, АВ=17, ВС=28, АС=39, SA=22,9. Найти объем пирамиды.
35. В пирамиде SABC все боковые ребра равны между собой, AC=CB=b,
<(SA, ACB)=ц, <AВС=б. Найти объем пирамиды.
2 уровень
36. В пирамиде SABC все боковые ребра равны между собой, АВ= ВС=2√6, <АСB=90°, <(SA, ACB)=60°. Найти объем пирамиды.
37. В пирамиде SABC все боковые ребра равны между собой, ABCD - прямоугольник, BD=d, О - точка пересечения диагоналей прямоугольника, <AOB= б, <(SA, ABС)=ц. Найти объем пирамиды.
3 уровень
38. В пирамиде SABC все боковые ребра равны между собой, АВ=c, <AВС=б, <АСB=90°, <(SA, AВC)=ц. Найти объем пирамиды.
39. В пирамиде SABC все боковые ребра равны между собой, ABCD – трапеция, АD=DC=BC=a, <ABC= б, <(SA, ABC)= ц. Найти объем пирамиды.
Объем пирамиды, две боковые грани которой перпендикулярны к плоскости основания
1 уровень
40. В пирамиде SABC две боковые грани которой перпендикулярны к плоскости основания, АВ = 15, ВС = 27, АС = 18; <(AC) = 45°;
(SAB) ┴ (ABC), (SBC) ┴ (ABC). Найти объем.
2 уровень
41. В пирамиде SABC две боковые грани которой перпендикулярны к плоскости основания, АС = b, <ACB = 90°, <ABC = б, <(AC) = ц, (SAB)┴(ABC), (SBC)┴(ABC). Найти объем.
3 уровень
42. В пирамиде SABCD две боковые грани которой перпендикулярны к плоскости основания, АВСD – квадрат, АС =√6 ; <(AD) = 60°, (SAB)┴(ABC), (SBC)┴(ABC). Найти объем.
Пирамида, одна боковая грань которой перпендикулярна к плоскости основания.
1 уровень
43. В пирамиде SABC, боковая грань (SAB) которой перпендикулярна плоскости основания, АВ = АС = ВС = а; SA=SB, <ASB =90°. Найти площадь боковой поверхности и объем пирамиды.
2 уровень
44. В пирамиде SABC, боковая грань (SAB) которой перпендикулярна плоскости основания, AB = BC = AC = SA = SB =a. Найти площадь боковой поверхности и объем пирамиды.
3 уровень
45. В пирамиде SABC, боковая грань (SAB) которой перпендикулярна плоскости основания, AB = DC = AC =a, <(AC) = <(BC) = б.
Найти площадь боковой поверхности и объем пирамиды.
Свойства правильной усеченной пирамиды.
1 уровень
46. В правильной треугольной усеченной пирамиде ОО1- ось, КК1- апофема, АВ =6, А1В1 =3, ОО1=0,5. Найти боковое ребро и апофему пирамиды.
47. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде ОО1- ось, ОО1=7,
АВ = 10, А1В1=2; Найти диагональ и боковое ребро пирамиды.
2 уровень
48. В правильной треугольной усеченной пирамиде ОО1- ось, КК1- апофема,
АВ =5, А1В1 =2, АА1=2.Найти ОО1, КК1, <(BC).
49. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде ОО1- ось, АВ =а, А1В1 =b, <(AA1, ABC) =45°. Найти высоту и боковое ребро пирамиды.
3 уровень
50. В правильной треугольной усеченной пирамиде ОО1- ось, А1В1= b, <(AB) = б.
Найти ОО1.
51. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде ОО1- ось, АВ =9, боковое ребро равно 8; диагональ пирамиды перпендикулярна боковому ребру, М - точка пересечения диагоналей пирамиды. Найти расстояние от точки М до плоскости основания, высоту и сторону верхнего основания.
Площадь боковой поверхности и объем усеченной пирамиды.
1 уровень
52. В треугольной усеченной пирамиде в основаниях правильные треугольники, стороны оснований равны 3 и 5, боковое ребро – 1, две боковые грани перпендикулярны плоскости основания. Найти площадь боковой поверхности.
53. В правильной треугольной усеченной пирамиде стороны оснований равны а и b, боковое ребро составляет с плоскостью основания угол б.
Найти объем пирамиды.
2 уровень
54. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде ОО1- ось,
ОО1= H, AB =a, А1В1=b. Найти площадь боковой поверхности.
55. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде AB =a, А1В1=b, боковая грань составляет с плоскостью основания угол б. Найти объем пирамиды.
3 уровень
56. В правильной треугольной усеченной пирамиде стороны оснований равны а и b, боковое ребро составляет с плоскостью основания угол б. Найти площадь боковой поверхности.
57. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде AB =a, А1В1=b,
<D1DC= б. Найти объем пирамиды.
