Квадратурные формулы для вычисления интеграла с переменным верхним пределом

Построены квадратурные формулы для вычисления определенного интеграла с переменным верхним пределом от функции, представимой в виде произведения ограниченной непрерывной функции и весовой функции Якоби.

Полученные формулы позволяют методом дискретных особенностей решать сингулярные интегро-дифференциальные уравнения, в которых в качестве слагаемого присутствует также интеграл с переменным верхним пределом от неизвестной функции. С другой стороны, эти же формулы позволяют определить величину раскрытия трещины  в задачах теории упругости для тел с трещинами, особенно, в случае, когда решение строится методом дискретных особенностей.

Определяющие уравнения задач теории упругости для тел с трещинами главным образом составляются относительно производной скачка перемещений берегов трещины, после чего необходимо бывает определить также саму разность перемещений, то есть величину раскрытия трещины. При решении таких уравнений методом дискретных особенностей мы находим значения регулярной части, т. е. множителя выделенной особенности, указанной производной в соответствующих узлах интерполирования. Следовательно возникает необходимость в квадратурной формуле, позволяющей вычислять саму функцию по найденным в определенных точках значениям регулярной части ее производной.

Предположим, что функция , представимая в виде

         (1)

где - непрерывная функция, ограниченная на отрезке , является решением плоской задачи теории упругости для массивного тела с трещиной и представляет собой производную скачка перемещений берегов трещины. Тогда для определения раскрытия трещины необходимо вычислить следующий интеграл:

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

       (2)

При решении определяющего сингулярного интегрального уравнения отмеченной задачи методом дискретных особенностей регулярная часть решения (1), т. е. функция , заменяется интерполяционным многочленом

,  ,        (3)

и, в итоге, определяются ее значения в корнях соответствующего многочлена Якоби.

Построим квадратурную формулу для вычисления определенного интеграла с переменным верхним пределом посредством найденных значений .

Подставляя (3) в (2), будем иметь

.        (4)

Очевидно, что отношение в подынтегральном выражении является многочленом порядка и его можно представить в виде линейной комбинации многочленов Якоби. Для этого воспользуемся формулой Кристоффеля-Дарбу для полиномов Якоби [1,2]:

,        (5)                

где

Полагая в (5) и учитывая, что, будем иметь

       (6)

Подставляя (6) в (4) и меняя порядок интегрирования и суммирования, получим

       (7)

Учитывая, что

,        (8)

а при имеем [1,2]

,        (9)

для интеграла окончательно получим следующую квадратурную формулу

       (10)

Для часто встречаемых частных случаев параметров и полученная квадратурная формула существенно упрощается.

Пусть . Тогда интерполяционный многочлен (3) примет вид

       (11)

где - корни многочлена Чебышева первого рода .

Учитывая формулу Кристоффеля-Дарбу для полиномов Чебышева первого рода

,        (12)

значение интеграла

       (13)

и соотношение , для рассматриваемого случая получим следующую квадратурную формулу:

       (14)

Пусть теперь . Тогда интерполяционный многочлен (3) будет иметь вид

       (15)

Учитывая формулу Кристоффеля-Дарбу для полиномов Чебышева второго рода

,        (16)

значение интеграла

       (17)

и соотношение , для этого случая получим следующую квадратурную формулу:

       (18)

Квадратурная формула (10), в частном случае (14) и (18), полезна и интересна не только тем, что она позволяет вычислить значение интеграла после определения значений , но и тем, что разрешает решать сингулярное интегро-дифференциальное уравнение, содержащее слагаемое типа интеграла .

Действительно, пусть имеем уравнение

         (19)

где - произвольное число, - заданная непрерывная функция.

Для определенности рассмотрим случай, когда решение уравнения неограниченно на обоих концах интервала интегрирования, следовательно, для выделения искомого решения необходимо задать дополнительное условие, которое, в основном, бывает задано в виде

       (20)

Нетрудно проверить, что решение уравнения (19) в обоих концах интервала интегрирования будет иметь корневую особенность, т. е. может быть представлено в виде

       (21)

где - непрерывная, ограниченная на отрезке , функция.

Для первого слагаемого левой части уравнения (19) воспользуемся квадратурной формулой [3], имеющей место для любой точки интервала ,

,  ,        (22)

для второго слагаемого – формулой (14).

Подставляя указанные квадратурные формулы в уравнение (19) и приравнивая обе его части в корнях многочлена Чебышева второго рода , получим следующую систему из линейных алгебраических уравнений

,        (23)        

которая вместе с дискретизированным условием (20)

       (24)

составляет замкнутую систему для определения неизвестных .

Отметим, что рассмотренное уравнение (19) является аналогом определяющего уравнения контактной задачи о передаче нагрузки упругой полуплоскости через прикрепленный к ее границе тонкий упругий стрингер конечной длины при предположении, что последний лишен изгибной жесткости [4], а также основного уравнения общей задачи теории крыла конечного размаха [5].

ЛИТЕРАТУРА


  Высшие трансцендентные функции, СМБ, том 2. М., Наука, 1966, 296 стр. Справочник по специальным функциям. Под редакцией М. Абрамовица и И. Стиган, М., Наука, 1979, 830 стр. Саакян формулы типа Гаусса для сингулярных интег­ралов. Сб. науч. трудов “Проблемы механики тонких деформи­ру­емых тел”, посвященный 80-летию академика . Ереван, 2002, с. 259-265. , Мхитарян задачи для тел с тонкими покрытиями и прослойками. М., Наука, 1983, 488с. Голубев по теории крыла. М., Л., Гостехиздат, 1949, 480с.

Сведения об авторе

Саакян Аветик Вараздатович – к. ф.м. н.,

Зам. директора Института механики НАН РА,

Тел. (37410) 568188,  (37494)579348

E-mail: *****@***sci. am, *****@***com 

Quadrature formulas for calculation of the integral with a variable upper limit

A. V.Sahakyan

Quadrature formulas for calculation of the definite integral with a variable upper limit when integral density is presented as bounded continuous function and Jacobi weight function composition are built.

The obtained formulas allow us to solve singular integro-differential equations, which contain the primitive function of unknown function as a term,  by the method of discrete singularities. С другой стороны, эти же формулы позволяют определить величину раскрытия трещины  в задачах теории упругости для тел с трещинами, особенно, в случае, когда решение строится методом дискретных особенностей.

On the other hand, the same formulas allow to define measure of crack disclosing in problems of elasticity theory for bodies with cracks, especially, in the case when for solution of problem the method of discrete singularities is used.