Радиотомография глобальных ионосферных структур (стр. 3 )

       Прежде чем переходить к решению (12) рассмотрим возможность замены луча (10) прямой линией. Луч стал кривым после перехода к новым декартовым координатам (h,τ), удобным для решения дискретизованной задачи. Прямой луч, соединяющий приемник (hi = 0, τi = 0) и спутник (h0, τ0), задается функцией h’(τ) = τ ctg ψ0, которая отличается от зависимости

       

причем h0(τ) = h’(τ0) = h0. Разлагая по степеням малой добавки τ/R << ψ, получим, что разница Δh высот двух траекторий равна

       .

В середине τ = τ0/2 траектории эта разность при ψ0 = π/4, h0 = 1000 км составляет Δh ≈ 60 км. Отсюда разбиение ионосферы на дискреты по вертикали не может быть меньше Δh, если не учитывать кривизны луча в координатах (h,τ), или иначе не учитывать “кривизну” полярных координат в области реконструкции при прямом луче. Еще более чувствительной к неучету кривизны луча будет полная фаза, если пытаться реконструировать N по полной фазе, т. к. длины искривленного и прямого лучей заметно отличаются. Одним словом, учет кривизны полярных координат в области реконструкции или искривления луча в координатах (h,τ) в глобальной радиотомографии необходим.

       Дискретизацию линейных интегралов I(β,τi) (12) проведем по положению спутника, зависящего от координаты τ0j или угла α0j =τ0j/R. Набор координат ИСЗ - τ0j пересчитывается согласно (5) в серию углов места βij спутника от i-го приемника

       .  (13)

Наборы углов места всех приемников определяют серию дискретных значений линейных интегралов Iij ≡ I(βij,τi). Простейший способ дискретизации искомой функции F(h,τ) на заданной прямоугольной (m0×n0) сетке - это замена ее кусочно-постоянной аппроксимацией или иначе представление F по системе (m0×n0) базисных функций, равных единице в некотором прямоугольнике и нулю во всех других. Прямоугольная реконструируемая область разбивается на m0 - высот (1 ≤ m ≤ m0) и n0 горизонтальных отсчетов (1 ≤ n ≤ n0). Пусть значение функции F(h,τ) в заданном (m×n) - прямоугольнике Fmn. Не имеет особого значения в какой точке прямоугольников выбирать отсчеты F(h,τ), это могут быть и середины прямоугольников, и узлы сетки.

       Задача томографической реконструкции по линейным интегралам состоит в определении набора дискретных отсчетов {Fmn} на известной сетке по набору {Iij}. Обозначая длину (i, j) луча в (m, n) клетке через , получим систему линейных уравнений

        или .  (14)

Здесь во втором уравнении произведена “перенумерация” лучей (i, j) → J и клеток ионосферы (m, n) → M. По повторяющимся индексам подразумевается суммирование. Число лучей определяется параметрами регистрирующей системы. Коэффициенты LMJ вычисляются по заданным лучам и клеткам разбиения ионосферы. Система (14) может быть как переопределенной, так и недоопределенной. Прежде чем переходить к методам решения линейных систем типа (14) покажем, что задача ионосферной радиотомографии по фазоразностным или доплеровским измерениям не может быть решена по такой схеме. Дело в том, что данными здесь будут производные линейных интегралов вида (12) D = ΔI/Δα0, или конечноразностные отношения приращения ΔI линейных интегралов к приращению Δα0 координаты ИСЗ. Измеряемая в эксперименте доплеровская частота Ω = dϕ/dt определяется производной фазы (2). Связь между углом α0 равномерно движущегося со скоростью v по круговой орбите ИСЗ и временем α0 = v0t/(R + h0) позволяет выразить доплеровскую частоту через производную по углу ИСЗ , отсюда данные фазоразностной томографической задачи пропорциональны ΔI/Δα0. Производные линейных интегралов при кусочно-постоянной аппроксимации искомой функции F будут разрывными. Это следствие того, что каждый линейный интеграл сумма интегралов по набору клеток. По мере изменения угла места ИСЗ луч встречает новую клетку, интеграл по одной этой клетке непрерывная функция угла спутника α0, но производная линейного интеграла по α0 будет содержать разрыв при касании лучом угла каждой клетки. С другой стороны измеряемая в эксперименте доплеровская частота является непрерывной функцией угла места спутника. Поэтому кусочно-постоянное представление реконструируемой функции не позволяет анализировать фазоразностную задачу.

       Доплеровские или фазоразностные измерения требуют интерполяцию более высокого порядка нежели кусочно-постоянное представление регистрируемой функции. Соответственно иначе должна рассчитываться матрица LJM перехода от реконструируемой функции к линейным интегралам, чтобы обеспечить непрерывность этой матрицы по координате ИСЗ - α0 (или углу места β). Если матрица прямой задачи LJM: FM → IJ непрерывна по углу спутника α0, то вместо системы (14) можно получить систему по фазоразностным или доплеровским данным путем дифференцирования (14) по углу α0

       .  (15)

Здесь DJ = ΔIJ/Δα0 - доплеровские данные, AJM ≡ ΔLM/Δα0 - конечно-разностное отношение (или производная) матрицы LM к приращению угла. Доплеровские данные определяются не только изменением полной фазы, связанной с интегральной электронной концентрацией по лучу, но также и локальной электронной концентрацией Ns в точке спутника. Поправка на доплеровские данные равна произведению Ns на составляющую скорости ИСЗ, направленную по лучу, равна - λreNscos(αi + β - α0). Эта поправка может быть внесена в итерационный алгоритм и получающиеся в процессе итераций значения Ns на границе h = hs ионосферы будут постоянно “подправлять” измеряемые значения доплеровской частоты. Величина изменения доплеровской частоты, обусловленная локальной электронной концентрацией может достигать долей Герца.

       Перейдем к расчету матрицы AJM разностной задачи, которая, как уже говорилось, должна определяться по приращению матрицы LJM, непрерывной по углу спутника. Непрерывность матрицы LJM может быть обеспечена путем введения конечных треугольных элементов для представления функции F(h,τ), т. е. когда искомая функция заменяется кусочно-планарной аппроксимацией. Гладкая функция F(h,τ) заменяется непрерывной многогранной поверхностью аппроксимации, производная по углу ИСЗ линейных интегралов по которой уже непрерывная функция. Можно применять и интерполяцию более высокого порядка, когда функция F представляется рядом по степеням h и τ более чем первого порядка. Значения функции F в каждом конечном элементе определяется ее значениями в ряде точек дискретной сетки.

       Линейный интеграл (12) представляет собой сумму интегралов по всем конечным элементам, которые пересекает J-ый луч

       ,  (16)

где .

Подставляя в (16) соответствующую интерполяционную формулу для F(h,τ) можно проводить интегрирование. При этом линейный интеграл (16) по конечным элементам будет состоять из ряда слагаемых (трех в случае треугольных конечных элементов при конечно-планарной аппроксимации). Каждое слагаемое содержит сомножителем значение {FM} в граничных точках конечного элемента. После интегрирования по всем конечным элементам, связанным с J-лучом, суммируя коэффициенты при FM, получим элемент матрицы LJM.

       Выполняя численное интегрирование по всем лучам, получим матрицу LJM. Матрица LJM связана с набором {α0} положений ИСЗ и соответствующей серией лучей. Можно вычислить матрицу и для другого набора близких положений ИСЗ с заданным приращением {α0 + Δα0}. После чего определяется матрица для фазоразностной томографической задачи .

       Сведение томографической задачи к линейным интегралам (12) и далее к интегралам вида (14), (15) является следствием линеаризации задачи. Линеаризации в том смысле, что возмущение среды считается достаточно малым и дает лишь поправку в подынтегральные функции линейных интегралов (2), но траектории лучей при этом не изменяются, т. е. остаются прямыми. Представляется необходимым оценить, насколько такое приближение допустимо в экспериментах по ионосферной радиотомографии. Оценку влияния искривления траектории получим из рассмотрения модельной задачи распространения в параболическом по h слое с полутолщиной ym и максимумом на высоте hm. Из решения лучевых уравнений /Кравцов и Орлов, 1980/ несложно получить величину смещения траектории Δτ и отклонения траектории Δh от прямолинейной с углом θ0 к вертикали

       ;  ,  (17)

где - критическая частота заданного параболического слоя, f - частота зондирования. При f0 ~ 5 - 10 МГц, f = 150 МГц, ym = 150 км, 0 ≤ θ ≤ 80о, Δh ~ 1 - 5 км, Δτ ≈ 5 - 25 км. Отсюда следует, что проводить разбиения ионосферы сеткой мельче чем Δh×Δτ = 10×20 км нецелесообразно, поскольку максимальное смещение траектории по вертикали и горизонтали может вывести за пределы дискрета разбиения и привести к большой систематической погрешности. При более крупном разбиении влияние искривления на результаты томографической реконструкции менее существенно. Однако рассмотренное слабое влияние малого искривления траектории относится к фазоразностным методам. В случае фазовых методов и малые искривления могут существенно менять фазу, т. е. измеряемая в эксперименте по реальной кривой траектории фаза может отличаться от фазы по прямой на величину большую 2π. Оценки для того же параболического слоя показывают, что эта разница Δϕ приведенной фазы по прямому и “кривому” лучу составляет