“Младший” коэффициент
a0 = K+1 (3.3)
определяется только контурным усилением.
Записать выражение для ХП замкнутой системы в числовом виде:
A(s) = 0.1s2 + 1.1s + 21. (3.4)
Для контурного усиления определить область устойчивости – интервал значений (Kmin ≤ K ≤ Kmax), при котором рассматриваемая система устойчива.
1: (0 K ≤ 1.25); 2: (0 K ≤ 100); 3: (0 K ); 4: (-∞ K ).
Обоснование: Корни принадлежат левой полуплоскости => СУ устойчива => 0<K<∞
3.2. Исследование устойчивости астатической системы
Модель исследуемой системы приведена в задании 2, п. 2.1.
ХП анализируемой разомкнутой СУ
AP(s) = a2,рs2+ a1,рs+ a0,р = (T3s+1)s = T3 s2+s. (3.5)
При этом
a2,р = T3,
a1,р = 1,
a0,р = 0.
В соответствии с выражением (1.10) и (3.1) для рассматриваемой астатической системы ХП выражается через параметры модели следующим образом:
A(s) = a2s2+ a1s+ a0 = T3s2 + s + K, (3.6)
где
a2 = a2,р = T3,
a1 = a1,р = 1,
a0 = K.
Из этих соотношений видно, что в анализируемой астатической системе “старший” a2 и “средний” a1 коэффициенты ХП замкнутой совпадают с соответствующими коэффициентами a2,р и a1,р ХП разомкнутой системы. Коэффициент a2,р зависит только от постоянной времени, а a1,р = Const = 1.
“Младший” коэффициент
a0 = K (3.7)
равен значению контурного усиления (см. различие со статической системой – (3.3)).
Записать выражение для ХП замкнутой системы в числовом виде.
A(s) = 0.5s2 + 1s + 2. (3.8)
Для контурного усиления определить область устойчивости – интервал значений (Kmin ≤ K ≤ Kmax), при котором данная система устойчива.
1: (0 K ≤ 1.25); 2: (0 K ≤ 100); 3: (0 K ); 4: (-∞ K ).
Обоснование: СУ является устойчивой, т. к. все коэффициенты положительны и корни находятся в левой полуплоскости плоскости корней.
Задание 4
Исследование устойчивости статической системы управления 3-го порядка.
Алгебраические критерии устойчивости
Рассматриваемые в задании темы:
- Характеристический полином (ХП) замкнутой системы. Связь коэффициентов ХП с параметрами модели СУ. Алгебраический критерий устойчивости для систем 3-го порядка. Критический коэффициент усиления в контуре обратной связи.
4.1. Модель СУ №3 задана структурной схемой - рис. 4.1.
Рис. 4.1
Звено 1 – “сумматор”. Его ПФ W1(s) = K1 = 1.
Значения параметров ПФ остальных звеньев:
W2(s) = K2 = 10;
W3(s) = K3/(T3s+1) = 4/(2s+1);
W4(s) = K4/(T4s+1) = 0.5/(0.05s+1);
W5(s) = K5/(T5s+1) = 1/(0.02s+1).
4.2. С использованием графического редактора программы CLASSiC сформировать модель системы в соответствии со структурной схемой рис. 4.1 и заданными операторами звеньев. Модель сохранить в файле, присвоив ей конкретное имя.
Вид структурной схемы из графического редактора программы CLASSiC приведен на рис. 4.2.
Рис. 4.2
Модель в текстовой форме.
Модель: "R:\МОДЕЛЬ3.MDL"
========================
Количество блоков: 5
Количество связей: 5
=========================================================
| | Передаточные функции | |
| Блоки |-------------------------------| Связи |
| | Числитель |Знаменатель|Степень| |
=========================================================
| #1 | 1 | 1 | 0 | 2 |
| Вход | | | | |
|------------|-----------|-----------|-------|----------|
| #2 | 10 | 1 | 0 | 3 |
|------------|-----------|-----------|-------|----------|
| #3 | 4 | 1 | 0 | 4 |
| | | 2 | 1 | |
|------------|-----------|-----------|-------|----------|
| #4 | 0.5 | 1 | 0 | 5 |
| | | 0.05 | 1 | |
|------------|-----------|-----------|-------|----------|
| #5 | 1 | 1 | 0 | -1 |
| Выход | | 0.02 | 1 | |
=========================================================
4.3. Найти (вычислить) и записать: значение контурного усиления K, ХП AP(s) разомкнутой СУ, ХП A(s) замкнутой системы, ПФ по управлению Ф(s) замкнутой системы.
K = 1*10*4*0.5*1=20. (4.1)
AP(s) =(2s+1) (0.05s+1) (0.02s+1)=0.002s3+0.141s2+2.07s+1 (4.2)
Примечание. Формула в общем виде для перемножения трех биномов:
(T3s+1)(T4s+1)(T5s+1) =
= T3T4T5 s3 + (T3T4+T3T5+T4T5) s2 + (T3+T4+T5) s + 1 (4.3)
A (s) = a3s3+ a2s2+ a1s+ a0 = 0.002s3+0.141s2+2.07s+1 (4.4)
Ф(s) = 20/(0.002s3+0.141s2+2.07s+1) (4.5)
Результат автоматизированного расчета:
Модель: "R:\МОДЕЛЬ3.MDL"
========================
================================================
| | Передаточные функции |
| Система |-------------------------------|
| | Числитель |Знаменатель|Степень|
================================================
| Ном. Система | 20 | 1 | 0 |
| | | 2.07 | 1 |
| | | 0.141 | 2 |
| | | 0.002 | 3 |
================================================
Вывод о совпадении результата “ручного” и автоматизированного расчетов:
Совпали
4.4. Используя критерий устойчивости Гурвица, проанализировать устойчивость исследуемой системы:
Устойчива; Неустойчива; Находится на нейтральной границе устойчивости; Находится на колебательной границе устойчивости.Обоснование ответа:
a2a1> a3a0 =>Корни лежат в левой полуплоскости.
Автоматизированный анализ устойчивости:
Полюсы ПФ системы (корни полинома знаменателя ПФ; он же – ХП системы):
p1 = -7.652568 +11.474898j
p2 = -7.652568 -11.474898j (4.6)
p3 = -55.194864
Примечание. Полюсы выводится из окна “Характеристики”, команды меню: Корневая плоскость→Графики→Показатели качества (сводка).
Примечание. Напоминаем, что приведенные здесь результаты следует заменять на свои, правильные.
Вид корневой плоскости представлен на рис. 4.3.
Рис. 4.3
Вывод об устойчивости СУ по корням ХП:
СУ устойчива
Вид переходного процесса – рис.4.4
Рис. 4.4
Вывод об устойчивости СУ по виду переходного процесса:
СУ устойчива
Вывод о совпадении результатов “ручного” и автоматизированного расчетов:
Результаты идентичны
4.5. Определить “критический” коэффициент усиления в контуре обратной связи. Использовать критерий Гурвица для полиномов 3-го порядка. Привести необходимые вычисления и обосновать ответ
(T3s+1)(T4s+1)(T5s+1) = T3T4T5 s3 + (T3T4+T3T5+T4T5) s2 + (T3+T4+T5) s + 1 + K
a2a1> a3a0 => (T3T4+T3T5+T4T5)* (T3+T4+T5) > T3T4T5*(1 + K) при уменьшении K переходим от устойчивого состояния к неустойчивом. Такое K, при котором знак меняется с «>» на «<» будет критическим.
Kкр = (T3T4+T3T5+T4T5)*(T3+T4+T5)/T3T4T5 - 1= 144.935 (4.7)
Автоматизированный анализ устойчивости.
Полюсы ПФ системы (корни полинома знаменателя ПФ):
p1 = -70.500000
p2 = 0.000000 +32.171416j (4.8)
p3 = 0.000000 -32.171416j
Вид корневой плоскости представлен на рис. 4.5.
Рис. 4.5
Вывод о нахождении СУ на границе устойчивости по корням ХП:
Система в состоянии колебания
Вид переходного процесса – рис.4.6
Рис. 4.6
Вывод нахождении СУ на колебательной границе устойчивости по виду переходного процесса:
СУ находится на колебательной границе
Вывод о совпадении результатов “ручного” и автоматизированного расчетов:
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 |
