Исследование устойчивости и компьютерное моделирование системы с логическим регулятором

,

Вычислительный центр им. РАН, *****@***ru,

Елецкий государственный университет им. , *****@***ru

Дано развитие первого метода Ляпунова исследования устойчивости системы с логическим регулятором. Проведено компьютерное моделирование и построены фазовые портреты двумерной системы.

Ключевые слова – устойчивость, система управления, логический регулятор, первый метод Ляпунова, бифуркация.

Введение

Исследование устойчивости систем с логическими регуляторами является актуальной проблемой при изучении управляемых систем [1–5]. Одним из способов решения этой задачи является геометрический метод, основанный на изучении векторных полей объекта управления и регулятора [3, 4]. В работах [2, 5] изучение устойчивости систем управления приводится с помощью разрывных функций Ляпунова. В настоящей работе проведено исследование устойчивости и компьютерное моделирование двумерной системы с логическим регулятором. Введено понятие «запас устойчивости». Для исследования устойчивости использован спектрально-бифуркационный метод, базирующийся на совместном использовании критерия Ляпунова и бифуркационной картины поля состояний системы.

Исследование устойчивости системы с логическим регулятором

Рассмотрим двумерную управляемую систему с логическим регулятором, описываемую уравнениями вида

                       (1)

где f1(0, 0) = f2(0, 0) = F(0, 0) = 0, f1(x1, x2) и f2(x1, x2) – монотонные функции, F(x1, x2) –нелинейная функция, описывающая работу логического регулятора. Дефаззификация F(x) определяется формулой =L2 , где символ ° означает операцию композиции; L2 – оператор дефаззификации; * – степень принадлежности пары (x, u) к правилу П(i), – функция принадлежности u к множеству Ui, – результат агрегирования степеней принадлежности входа xi к множеству Xi, символ * означает операцию логического минимума или алгебраического произведения; **…*, i = 1, …, n, – нечеткий выход, соответствующий входу ; – база правил регулятора. Результат действия F(x) соответствует управляющему воздействию на объект управления.

Состояние равновесия x1 = x2 = 0 системы (1) устойчиво, если спектр матрицы характеристического уравнения системы (1) гурвицев. Состояние равновесия системы (1) x1 = x2 = 0 неустойчиво в случае статической бифуркации и бифуркации Хопфа.

Характеристический многочлен матрицы Якоби для функции f(x) в точке x = 0 имеет вид P(s) = det(s⋅I – J2). Очевидно, что det(s⋅I – J2) =   =s2 – s⋅(a11 + a22) + a11⋅a22 – a12⋅a21. Тогда

P(s) = s2 + a1⋅s + a2,                        (2)

где a1 = –(a11 + a22) = –tr(J2),  a2 = a11⋅a22 – a12⋅a21 = det(J2).

Статическая бифуркация имеет место, если один из корней полинома P(s) равен нулю. Это означает, что величина a2 в (2) равна нулю. Тогда условие a2 = 0 является условием потери устойчивости системы (2.6) при статической бифуркации. Чем больше значение a2, тем быстрее оно приближается к точке бифуркации. Следовательно, значение a2 определяет запас устойчивости. Этот показатель определяет, насколько далека система от потери устойчивости в точке x = 0. Тогда = a2 = det(J2).

Бифуркация Хопфа имеет мес­то, если два комплексных собственных значения харак­те­ристического многочлена имеют нулевую действительную часть. Это означает, что величина a1 в (2) равна нулю. В этом случае имеем запас устойчивости = –tr(J2).

Компенса­ция векторных компонентов объекта управления и регулятора происходит только в области пространства состояния, где компонент объекта управления имеет направление (b1, b2). Определим дополнительное подпространство в виде . Это выражение представляет одномерное подпространство пространства состояний, в котором происходят статические бифуркации. Тогда запас устойчивости определим как минимальное расстояние между функциями f(x) и b⋅F(x), вычисленное на дополнительном подпространстве: , где ΩC – дополнение области Ω = (γ1, γ2) в окрестности точки x1 = x2 = 0, γ1 и γ2 – граничные значения, удовлетворяющие равенствам: F′(γ1) = –f ′(γ1),  F′(γ2) = –f ′(γ2).

Результаты моделирования

Рассмотрим нелинейную систему, описы­ваемую уравнением

.                        (3)

С помощью замены  y = x1,  перейдем к системе двух дифференциальных уравнений

               (4)

где b1 = a2 = 12,7388, a1 = 2,2165, и выполняется неравенство ⎪u⎪≤ 0,6.

При u = 0 система (4) является открытой и имеет устойчивый фокус (рис. 1). Рис. 2 соответствует переходному режиму открытой системы.

Рис. 1. Фазовый портрет системы (4) при u = 0

Рис. 2. Переходный режим системы (4) при u = 0

Матрица Якоби для системы с обратной связью имеет вид . Производные и в точке x = 0 можно получить с помощью методов интерполяции. Для случая линейной интерполяции и значений  b1 = a2 = 12,7388, a1 = 2,2165 получим матрицу . Тогда характеристический многочлен, соответствующий этой матрице, имеет вид . В этом случае запас устойчивости системы (3) равен  = 15,9236,  = 6,4024.

Дополнительное подпространство определим равенством x2 = 0. В этом случае запас устойчивости не определен.

При u ≠ 0 система (4) является замкнутой и имеет устойчивый фокус (рис. 3).

Рис. 3. Фазовый портрет системы (4) при u ≠ 0

Область устойчивости для замкнутой системы увеличена по сравнению с областью устойчивости для открытой системы (рис. 1). Рис. 4 соответствует переходному режиму замкнутой системы. Рис. 1–4 получены с помощью интегрированной системы компьютерной математики Mathcad.

Рис. 4. Переходный режим системы (4) при u ≠ 0

Системы, аналогичные системе (3), рассматривались в [3].

Выводы

Проведенное в настоящей работе исследование устойчивости и компьютерное моделирование системы c логическим регулятором позволяет делать выводы о запасе устойчивости с помощью критерия Ляпунова и бифуркационной картины поля состояний системы. Полученные результаты могут быть использованы при решении задач, связанных с конструированием и совершенствованием технических систем управления.

Работа поддержана РФФИ (проект № 10-08-00826-а).

Литература

1. ечеткое моделирование и управление. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2009.

2. Borne P., Dieulot J.-Y. Fuzzy systems and controllers: Lyapunov tools for a regionwise approach //  Nonlinear Analysis. 2005. V. 63. P. 653–665.

3. Driankov D., Hellendorm H., Reich Frank M. An introduction to fuzzy control. – Berlin: Springer, 1996.

4. Braae M.,  Rutherford D. A. Selection of parameters for a fuzzy logic controller // Fuzzy Sets and Systems. 1979. V. 2. P. 185–199.

5. , Дружинина и анализ устойчивости некоторых классов систем управления. М.: ВЦ РАН, 2011.

STABILITY RESEARCH AND COMPUTER MODELING OF SYSTEM WITH LOGIC CONTROLLER

Druzhinina O. V., Masina O. N.

Dorodnicyn Computing Center of RAS, *****@***ru,

Yelets State University named after I. A. Bunin, *****@***ru

Improvement of the first Lyapunov method of stability research for system with logic controller is puter modeling is spent and phase portraits. of two-dimensional system are constructed.

Кеу words – stability, system of control, logic controller, first Lyapunov method, bifurcation.