ЕГЭ 2015 Задание №19. Сложные задачи (стр. 7 )

При S = 4 290 000 и а = 14,5, по­лу­ча­ем: b = 1,145 и

(руб­лей).

Ответ: 2 622 050.

За­да­ние 19 № 000. 31 де­каб­ря 2014 года Са­ве­лий взял в банке 7 378 000 руб­лей в кре­дит под 12,5% го­до­вых. Схема вы­пла­ты кре­ди­та сле­ду­ю­щая: 31 де­каб­ря каж­до­го сле­ду­ю­ще­го года банк на­чис­ля­ет про­цен­ты на остав­шу­ю­ся сумму долга (то есть уве­ли­чи­ва­ет долг на 12,5%), затем Са­ве­лий Пе­ре­во­дит в банк платёж. Весь долг Са­ве­лий вы­пла­тил за 3 рав­ных пла­те­жа. На сколь­ко руб­лей мень­ше он бы отдал банку, если бы смог вы­пла­тить долг за 2 рав­ных пла­те­жа?

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что уве­ли­че­ние долга на 12,5% есть уве­ли­че­ние его в раза.

Дата	Долг при усло­вии, что Сте­пан вы­пла­тил долг за 3 рав­ных пла­те­жа	Долг при усло­вии, что Сте­пан вы­пла­тил долг за 2 рав­ных пла­те­жа
31.12.2014	Долг: 7 378 000 руб.	Долг: 7 378 000 руб.
31.12.2015	Долг уве­ли­чен, стал руб.	Долг уве­ли­чен, стал руб.
До 31.12.2016	Са­ве­лий пе­ре­вел в банк х руб. Долг умень­шил­ся и стал руб.	Са­ве­лий пе­ре­вел в банк у руб. Долг умень­шил­ся и стал руб.
31.12.2016	Долг уве­ли­чен в раза, стал руб.	Долг уве­ли­чен в раза, стал руб.
До 31.12.2017	Са­ве­лий пе­ре­вел в банк х руб. Долг умень­шил­ся и стал руб., т. е. руб.	Са­ве­лий пе­ре­вел в банк у руб. Долг умень­шил­ся и стал руб., т. е. руб. Са­ве­лий рас­пла­тил­ся за 2 рав­ных пла­те­жа. Долга нет. Т. е.
31.12.2017	Долг уве­ли­чен в раза, стал руб.	Долг 0 руб.
До 31.12.2018	Са­ве­лий пе­ре­вел в банк х руб. Долг умень­шил­ся и стал руб., т. е. руб. Са­ве­лий рас­пла­тил­ся за 3 рав­ных пла­те­жа. Долга нет. Т. е.	Долг 0 руб.

Из таб­ли­цы по­лу­ча­ем, что еже­год­ные пла­те­жи в пер­вом слу­чае: Во вто­ром слу­чае: Найдём на­сколь­ко руб­лей мень­ше отдал бы Са­ве­лий банку, если бы вы­пла­чи­вал долг двумя рав­ны­ми пла­те­жа­ми:

Ответ: 506 250.

За­да­ние 19 В 1-е клас­сы по­сту­па­ет 45 че­ло­век: 20 маль­чи­ков и 25 де­во­чек. Их рас­пре­де­ли­ли по двум клас­сам: в одном долж­но по­лу­чить­ся 22 че­ло­ве­ка, а в дру­гом Ї 23. После рас­пре­де­ле­ния по­счи­та­ли про­цент де­во­чек в каж­дом клас­се и по­лу­чен­ные числа сло­жи­ли. Каким долж­но быть рас­пре­де­ле­ние по клас­сам, чтобы по­лу­чен­ная сумма была наи­боль­шей?

Ре­ше­ние.

Ре­ше­ние 1. Вме­сто сум­мар­но­го про­цен­та будем счи­тать сум­мар­ную долю де­во­чек Ї оче­вид­но, эти числа от­ли­ча­ют­ся в 100 раз и до­сти­га­ют сво­е­го мак­си­му­ма од­но­вре­мен­но. Каж­дая де­воч­ка в клас­се из 22 че­ло­век со­став­ля­ет от об­ще­го числа уча­щих­ся в этом клас­се, а в клас­се из 23 че­ло­век Ї от об­ще­го числа уча­щих­ся. Зна­чит, если по­ме­нять ме­ста­ми де­воч­ку из боль­ше­го клас­са и маль­чи­ка из мень­ше­го, сум­мар­ный про­цент де­во­чек вы­рас­тет. Таким об­ра­зом, мак­си­мум до­сти­га­ет­ся, когда все по­доб­ные пе­ре­ста­нов­ки сде­ла­ны, то есть, когда мень­ший класс пол­но­стью со­сто­ит из де­во­чек, а в боль­шем клас­се Ї 3 де­воч­ки и 20 маль­чи­ков.

Ре­ше­ние 2. Пусть в мень­ший класс рас­пре­де­ле­но х де­во­чек (где ), тогда в боль­ший класс по­па­ло де­во­чек. Зна­чит, сум­мар­ная доля де­во­чек в двух клас­сах равна и пред­став­ля­ет собой ли­ней­ную функ­цию с по­ло­жи­тель­ным уг­ло­вым ко­эф­фи­ци­ен­том. Зна­чит, эта функ­ция до­сти­га­ет сво­е­го наи­боль­ше­го зна­че­ния на пра­вом конце про­ме­жут­ка [2; 22], то есть при Таким об­ра­зом, мень­ший класс пол­но­стью дол­жен со­сто­ять из де­во­чек, а в боль­шем клас­се долж­но быть 3 де­воч­ки и 20 маль­чи­ков.

Ответ: В одном клас­се Ї 22 де­воч­ки, в дру­гом Ї 3 де­воч­ки и 20 маль­чи­ков.

За­да­ние 19 № 000. В 1-е клас­сы по­сту­па­ет 43 че­ло­ве­ка: 23 маль­чи­ка и 20 де­во­чек. Их рас­пре­де­ли­ли по двум клас­сам: в одном долж­но по­лу­чить­ся 22 че­ло­ве­ка, а в дру­гом Ї 21. После рас­пре­де­ле­ния по­счи­та­ли про­цент маль­чи­ков в каж­дом клас­се и по­лу­чен­ные числа сло­жи­ли. Каким долж­но быть рас­пре­де­ле­ние по клас­сам, чтобы по­лу­чен­ная сумма была наи­боль­шей?

Ре­ше­ние.

Ре­ше­ние 1. Вме­сто сум­мар­но­го про­цен­та будем счи­тать сум­мар­ную долю маль­чи­ков Ї оче­вид­но, эти числа от­ли­ча­ют­ся в 100 раз и до­сти­га­ют сво­е­го мак­си­му­ма од­но­вре­мен­но. Каж­дый маль­чик в клас­се из 22 че­ло­век со­став­ля­ет от об­ще­го числа уча­щих­ся в этом клас­се, а в клас­се из 21 че­ло­век Ї от об­ще­го числа уча­щих­ся. Зна­чит, если по­ме­нять ме­ста­ми де­воч­ку из мень­ше­го клас­са и маль­чи­ка из боль­ше­го, сум­мар­ный про­цент маль­чи­ков вы­рас­тет. Таким об­ра­зом, мак­си­мум до­сти­га­ет­ся, когда все по­доб­ные пе­ре­ста­нов­ки сде­ла­ны, то есть, когда мень­ший класс пол­но­стью со­сто­ит из маль­чи­ков, а в боль­шем клас­се Ї 20 де­во­чек и 2 маль­чи­ка.

Ре­ше­ние 2. Пусть в мень­ший класс рас­пре­де­ле­но х маль­чи­ков (где ), тогда в боль­ший класс по­па­ло () маль­чи­ков. Зна­чит, сум­мар­ная доля маль­чи­ков в двух клас­сах равна и пред­став­ля­ет собой ли­ней­ную функ­цию с по­ло­жи­тель­ным уг­ло­вым ко­эф­фи­ци­ен­том. Зна­чит, эта функ­ция до­сти­га­ет сво­е­го наи­боль­ше­го зна­че­ния на пра­вом конце про­ме­жут­ка [1; 21], то есть при Таким об­ра­зом, мень­ший класс пол­но­стью дол­жен со­сто­ять из маль­чи­ков, а в боль­шем клас­се долж­но быть 20 де­воч­ки и 2 маль­чи­ка.

Ответ: В одном клас­се Ї 21 маль­чик, в дру­гом Ї 20 де­во­чек и 2 маль­чи­ка.

За­да­ние 19 Фер­мер по­лу­чил кре­дит в банке под опре­де­лен­ный про­цент го­до­вых. Через год фер­мер в счет по­га­ше­ния кре­ди­та вер­нул в банк от всей суммы, ко­то­рую он дол­жен был банку к этому вре­ме­ни, а еще через год в счет пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та он внес в банк сумму на 21% пре­вы­ша­ю­щую ве­ли­чи­ну по­лу­чен­но­го кре­ди­та. Каков про­цент го­до­вых по кре­ди­ту в дан­ном банке?

Ре­ше­ние.

За­пи­шем по­дроб­но усло­вие за­да­чи:

1. Пусть фер­мер взял кре­дит A руб. под p % го­до­вых. Через год он дол­жен банку руб.

Через год фер­мер в счет по­га­ше­ния кре­ди­та вер­нул в банк от всей суммы, ко­то­рую он дол­жен был банку к этому вре­ме­ни, сле­до­ва­тель­но, ему оста­лось вер­нуть руб.

Еще через год он дол­жен банку

В счет пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та он внес в банк сумму на 21% пре­вы­ша­ю­щую ве­ли­чи­ну по­лу­чен­но­го кре­ди­та, то есть внес 1,21 A руб. По­лу­чи­ли урав­не­ние:

2. Решим это урав­не­ние. Раз­де­лим обе части урав­не­ния на А и умно­жим на 4. По­лу­чим:

Из­вле­чем квад­рат­ный ко­рень из пра­вой и левой части урав­не­ния. Нас ин­те­ре­су­ет толь­ко по­ло­жи­тель­ный ко­рень. По­лу­чим: От­сю­да:

Ответ: 120.